y' = 1y−+x2 .
Найдём угловой коэффициент касательной kкас. = y'(х0,у0)= 12++22 = 34 .
Составим уравнение касательной
y – y0 = kкас(x – x0):
y – 2 = 34 (x + 2), или
3x – 4y + 14 = 0.
Найдём угловой коэффициент нормали:
|
|
kнорм. = − |
1 |
= − |
4 |
. |
|||
|
|
|
kкас. |
|
|||||
Составим уравнение нормали |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y – y0 = kнорм.(x – x0): |
|||||||
y – 2 = |
− |
4 |
(x +2), |
или |
4x + 3y + 2 = 0. |
||||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.12. Производные высших порядков
Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет производную, то эта производная f '(x) является новой функцией на данном промежутке. Если функция f '(x) тоже имеет производную, то её производная называется второй производной или производной второго порядка и обозначается y" или f"(x). Таким образом, по определению:
f ″(x) = (f '(x) )'.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается y"' (или f'"(x)):
f ″′(x) = (f ″(x))'.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называ-
ется производная от производной (n – 1) порядка: f(n)(x) = (f(n-1)(x))'.
Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (yIV или y(4) – производная четвёртого порядка).
27
Выясним механический смысл второй производной. Пусть закон движения материальной точки по некоторой прямой линии имеет вид S = S(t). Известно (см. п.1.1), что первая производная S'(t) равна скорости точки в данный момент времени t:
v(t) = S'(t).
По определению второй производной S"(t) = v'(t), а v'(t) – скорость изменения v(t) в момент t. Как известно из механики, величина v′(t) является ускорением α в момент времени t. Итак, вторая производная S"(t) от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки:
α(t) = S"(t). |
1 |
|
|
|
Например, если S = |
gt 2 |
(g – постоянное ускорение |
||
2 |
||||
|
|
v(t) = S'(t) = gt, а ускорение |
||
свободного падения), то скорость |
||||
α (t) = v'(t) = S"(t) = g. |
|
|
|
|
Пример 35. Найти производную порядка n от функции y = x3.
Решение. y' = (x3)' = 3x2, y" = (3x2)' = 6x, y"' = (6x)' = 6, y(4) = 0, …, y(n) = 0 при n ≥ 4.
Пример 36. Найти общее выражение для производной
порядка n от функции y = eαx.
Решение. y' = (eαx)' = αeαx, y" = (αeαx)' = α2eαx, …,
y(n) = αneαx.
Пример 37. Найти четвёртую производную от функции y = sinx.
Решение. y' = (sinx)' = cosx, y" = (cosx)' = - sinx, y"' = (- sinx)' = - cosx, y(4) = (- cosx)' = sinx.
28