4.5. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (см. рис. 34). Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

Рис. 34

Вертикальные асимптоты

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения аргумента х, при приближении к которым функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Эти значения нужно искать среди точек разрыва второго рода и на границе области определения функции.

Рис. 35

Точка х=2 – точка разрыва II рода функции.

Пример 9. График функции y=ln x имеет вертикальную

асимптоту х=0 (рис.36). Действительно, lim ln x = −∞ . Об-

x→0+0

ласть определения функции – интервал (0,+∞). Точка х=0 – граница области определения.

Рис. 36

57

Наклонные асимптоты

Теорема. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при x→+∞ (x→-∞) наклонную асимптоту y=kx+b , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Следовательно, прямая y=kx+b, то есть y=2 – горизонтальная асимптота (рис. 37).

Рис. 37

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

y = x2 +1 . x

Решение. Функция определена, если знаменатель x ≠ 0. Таким образом, область определения состоит из двух интервалов (-∞,0)U(0,+∞). Точка х=0 – точка разрыва. Так как

прямая x=0 – вертикальная асимптота. Ищем наклонную асимптоту y=kx+b.

59