Пример 6. Найти производную функции y = x2 + x −1 . 10x
Решение.
Воспользуемся свойствами (3), (4) и таблицей производных:
|
|
2 |
|
|
|
′ |
|
|
2 |
′ |
x |
|
|
|
|
2 |
|
x |
′ |
|
|
|
|
x |
+ x −1 |
|
|
|
|
10 −(x |
|
+ x −1) |
|
|
|||||||||
y′= |
= |
(x + x −1) |
|
(10 ) |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10 |
x |
|
|
|
(10 |
x |
) |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
(2x +1) 10x −(x2 + x −1) 10x ln10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
102x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7. Найти производную функции |
y = |
x 3 |
+3 x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение.По формуле производной частного (4) |
sin x |
|||||||||||||||||||||
получим: |
||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
+3 |
x ′ |
|
3 |
+3 |
x |
′ |
(x |
3 |
+3 |
x |
|
|
|
′ |
|
|
|||
y'= |
|
|
|
= (x |
|
|
) sin x − |
|
|
) (sin x) |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
(3x2 +3x ln 3) sin x −(x3 |
+3x ) cos x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.7. Производная сложной функции
Теорема. Пусть функция u=u(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=u(x). Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х, которая находиться по формуле:
|
|
′ |
= |
′ |
′ |
(5) |
|
|
yx |
f (u) u (x). |
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
||
По определению производной: |
|
|
|
|
||
′ |
y |
. |
|
|
|
|
f (u) = lim |
u |
|
|
|
|
|
u→0 |
|
|
|
|
|
|
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции имеем:
|
y |
= f |
′ |
α = 0. |
|
|
|||
|
u |
(u) +α, lim |
||
|
|
u→0 |
|
|
14 |
|
|
|
|
Умножив обе части полученного равенства на приращение u,
получим: |
= f (u) |
u +α u. |
||
y |
||||
|
′ |
|
|
|
Разделим все члены последнего равенства на приращение x : |
||||
y |
′ |
|
u |
u |
x |
= f (u) |
|
x +α |
x . |
Функция u =u(x) |
|
непрерывна в точке x по теореме о непре- |
||
рывности функции, имеющей производную, поэтому u → 0 при
x →0 и lim α = 0. По определению производной
x→0
u′(x)
у′x =
= lim y . Поэтому
x→0 x
lim |
y |
= lim( f |
′ |
u |
+α |
u |
) = |
x |
(u) |
x |
x |
||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
= f ′(u) lim |
u |
+ |
lim α |
lim |
u |
= f ′(u) u′( x). |
x→0 |
x |
|
x→0 |
x→0 |
x |
|
Пример 8. Найти производную сложной функции y=(x2+1)10.
Решение. Положим: u=x2+1. Тогда y=(x2+1)10=u10 .
Для нахождения производной применим формулу (5):
y′x = (u10 )′ u′ =10u9 u′ =10(x2 +1)9 2x.
Пример 9. Найти производную сложной функции y=sin3x.
Решение. Положим: u=3x. Тогда y=sin3x=sinu.
По формуле (5) получим:
y′x = (sin u)′ u′ = cosu u′ = cos3x 3 = 3cos3x.
Пример 10. Найти производную функции y=cos2x=(cosx)2.
Решение. Положим: u=cosx. Тогда y=(cosx)2=u2.
По формуле (5) производная сложной функции равна: y´x=(u2)´ ·u´=2u•u´=2cosx·(-sinx)=-2cosx·sinx.
Пример 11. Найти производную функции y=arctgex .
15
Решение. Положим: u=ex. Тогда y=arctgu. Производная сложной функции по формуле (5) равна:
y'= (arctgu)' u'= |
|
1 |
u'= |
ex |
. |
|
+u2 |
1+e2x |
|||
1 |
|
|
|||
Пример 12. Найти производную функции y = 
ln x . Решение. Положим: u=lnх. Тогда y = 
u .
Производная сложной функции равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y'= ( u )' u'= |
|
|
1 |
|
u'= |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
||||||||
2 |
|
u |
2 |
ln x |
|
|
x |
2x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|||||||||||
Пример 13. Найти производную функции y=lnarcsinx. |
||||||||||||||||||||||||||
Решение. Положим: |
u=arcsinx, тогда y=lnu. |
|
||||||||||||||||||||||||
Производная сложной функции равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y' = (ln u)' u'= |
1 |
u' |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
1− x2 arcsin x |
||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 14. Найти производную функции y=tg2x. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Положим: |
u=2x, тогда y=tgu. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Производная сложной функции равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y'= (tgu)' u'= |
1 |
|
u'= |
|
|
|
1 |
|
2x |
ln 2 = |
|
|
2x ln 2 |
. |
|
|||||||||||
cos2 u |
|
|
cos2 |
2x |
cos2 2x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Пример 15. Найти производную функции y =10 x . |
|
|
||||||||||||||||
|
Решение. Положим: u= |
x , тогда у= 10u . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Производная сложной функции равна: |
|
|
|||||||||||||||
|
y'= (10u )' u'=10u ln10 u'=10 x ln10 |
1 |
|
= |
10 x ln10 . |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 x |
|
|
|||
|
|
Пример 16. Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= (2 − x5 )− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 2 − x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Производная сложной функции равна: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
y'= − |
1 |
(2 − x5 )−3 |
(2 − x5 )′ = − |
1 |
|
(2 − x5 )− |
|
(−5x4 )= |
|
5 |
(2 − x5 )− |
|
x4. |
|||||||
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь u=2-x5.
16
|
|
|
|
Пример 17. Найти производную функции y=tg35x=(tg5x)3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Производная сложной функции равна: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y' = 3(tg5x)2 (tg5x)′ = 3tg 2 |
5x |
|
|
1 |
|
|
(5x)′ = 3tg 2 5x |
|
1 |
5 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 5x |
cos2 5x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=15 |
|
tg |
2 5x |
= |
15 |
sin2 |
|
5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos2 5x |
cos4 |
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример 18. Найти производную функции y = |
|
4 +sin2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Производная сложной функции равна: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 +sin2 |
x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin x |
(sin x)′ = |
|
|||||||||||||||||||||||
2 4 +sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 +sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin x cos x = |
|
sin x cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 +sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 +sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 19. Найти производную функции y=lnarctgx2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение: |
1 |
|
|
|
|
|
(arctgx2 )′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
(x2 )′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y'= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arctgx2 |
|
arctgx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+(x2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2x = |
arctgx2 (1+ x4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
arctgx2 |
1+ x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 20. Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y=ln4tgx=(lntgx)4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
y'= 4(ln tgx)3 (ln tgx)′ = 4(ln tgx)3 |
(tgx)′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 4ln3 tgx |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx |
tgx |
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
4ln3 tgx |
= |
|
|
4ln3 tgx |
|
, т.к. |
tgx = |
|
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
tgx |
cos2 x |
sin x cos x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 21. Найти производную функции y=2arcsin3x. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y'= 2arcsin 3x ln 2 (arcsin 3x)'= 2arcsin 3x ln 2 |
|
|
|
|
(3x)′ = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−(3x)2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 2.arcsin 3x ln 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 = |
3 2arcsin 3x ln 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1−9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |