Пример 22. Найти производную функции
y=sin ex3 −3x+2 .
Решение. |
|
x3−3x+2 |
|
x3−3x+2 |
′ |
||
y'= cos e |
|
|
e |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=cos ex3−3x+2 ex3−3x+2 (x3 −3x + 2)′=
=cos ex3 −3x+2 ex3 −3x+2 (3x2 −3).
1.8.Производная функции, заданной параметрически
Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и функ-
цией у задана параметрическими уравнениями: |
|
x =ϕ(t), |
t (a,b), |
y =ψ(t), |
|
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. |
||
Пусть функции ϕ(t) |
и ψ(t) имеют производные в некоторой |
|
точке t (a,b) : yt′ =ψ′(t), xt′ =ϕ′(t)≠ 0. |
Кроме того, функция |
|
x =ϕ(t) в окрестности точки t имеет |
обратную функцию |
|
t = g(x).
Тогда определенная параметрическими уравнениями функция y=f(x) также имеет производную в точке x =ϕ(t), причем
y'x = |
y't |
. |
(6) |
|
|||
|
x't |
|
|
Теорема доказана в приложении.
Пример 23. Найти производную функции, заданной параметрически:
|
|
3 |
+5t, |
|
x = t |
|
. |
||
|
2 |
|
|
|
|
−t +2. |
|
||
y = t |
|
|
||
Решение. Имеем: x't = 3t 2 +5, y't = 2t −1.
18
Следовательно, по формуле (6) производная равна:
|
y'x = |
|
y't |
= |
2t −1 |
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x't 3t 2 +5 |
|||
Пример 24. Найти производную функции, заданной па- |
||||||||
раметрически: |
|
3 |
t |
, |
|
|
|
|
x =3cos |
3 |
|
|
|
||||
|
|
t. |
||||||
|
y =3sin |
|
||||||
Кривая, определяемая этими уравнениями, называется астроидой.
Решение. Имеем: x't = 9cos2t˙(-sin t) = - 9cos2 tsin t, y't = 9sin2 t˙cos t.
По формуле (6) производная функции, заданной параметриче-
скими уравнениями, |
|
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′x = |
y' |
t |
= |
9sin2 t. cost |
= |
sin t |
|
= −tgt. |
|||||||
x't |
−9cos2 t. sin t |
−cost |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(t |
2 |
|
|
t |
, |
|
|
||
Пример 25.Пусть |
x = |
|
+1)e |
|
Найти y'x. |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−t |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
y = (t |
|
|
+1)e |
|
||||||
Решение. Имеем: x't=(t2+1)'et+(t2+1)(et)'=2t˙et+(t2+1)et=(t2+2t+1)et , y't=(t3-t2+1)'et+(t3-t2+1)(et)'=(3t2-2t)et+(t3-t2+1)et=(t3+2t2-2t+1)et.
Производная функции, заданной параметрическими уравнениями, равна:
y'x= |
yt′ |
= |
(t3 +2t 2 −2t +1)et |
= |
t3 +2t 2 −2t +1 |
. |
xt′ |
(t 2 +2t +1)et |
|
||||
|
|
|
t 2 +2t +1 |
|||
1.9. Производная функции, заданной неявно
Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением:
F(x,y)=0 |
(7) |
Если функция y=f(x), определённая на некотором интервале, такова, что уравнение (7) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно x:
F(x, f(x))=0, то функция y=f(x) называется неявной функцией, определённой уравнением (7).
Например, уравнение x2+y2-R2=0 неявно определяет следующие функции:
19
y= |
R2 − x2 |
(уравнение верхней полуокружности - рис. 6), |
y= − |
R2 − x2 |
(уравнение нижней полуокружности – рис. 7). |
Производная неявной функции находится по следующему правилу: дифференцируем уравнение (7) по переменной x, считая x – независимой переменной, а y – функцией от x.
Рис.6 Рис.7
При этом по правилу (5) дифференцирования сложной функции имеем: (ϕ( y))′x =ϕ′( y) y′.
Например, ( y |
2 |
′ |
′ |
′ |
′ |
′ |
y' |
. |
|
|
|||||||
|
)x = 2y y ; |
(sin y)x = cos y y ; |
(ln y)x = |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем полученное равенство надо разрешить относитель-
но y'.
Пример 26. Найти производную функции, заданной неяв-
но уравнением:
y3 – 3y + 2x = 0.
Решение.
Дифференцируем равенство по x:
(y3 – 3y + 2x)'x = 0, 3y2 ˙y' – 3y' + 2 = 0.
20
Выразим у' из полученного равенства: y'(3y2 – 3) = - 2,
y' = − |
2 |
|
|
, |
|
3y2 |
|
|
|||
|
|
−3 |
|||
y' = |
2 |
|
. |
||
3 −3y2 |
|||||
Пример 27. Найти производную функции, заданной неяв-
но уравнением:
x3 + y4 = xy2.
Решение.
Дифференцируем обе части равенства по x: (x3 + y4)'x = (xy2)'x,
3x2 + 4y3·y'= x'·y2 + x· (y2)'x, 3x2 + 4y3·y' = 1·y2 + x·2y·y'.
Выражаем у' из полученного равенства:
4y3·y' – 2xy·y' = y2 – 3x2, y'(4y3 – 2xy) = y2 – 3x2,
|
y' = |
y2 |
−3x2 |
|
|
|
|
. |
|
|
4 y3 |
|
||
|
|
− 2xy |
||
Пример 28. Найти производную функции, заданной неяв- |
||||
но уравнением |
y = x + cos(x + y). |
|||
Решение. |
|
|
|
|
Дифференцируем обе части равенства по x: y' = (x + cos(x + y))'x,
y' = 1 – sin(x + y)·(x + y)'x, y' = 1 – sin(x + y) · (1 + y'),
y' = 1 – sin(x + y) - y' sin(x + y).
Выражаем y′:
y' + y' sin(x + y) = 1 – sin(x + y), y'(1 + sin(x + y)) = 1 – sin(x + y),
y' = 1−sin(x + y) . 1+sin(x + y)
21