Электродинамика_Коллоквиум_23

четырехполюсник (рис. 4.15,6). Частотная характеристика системы имеет максимум на резонансной частоте используемого типа колебаний.

§4.6. Добротность объемных резонаторов

Добротность — одна из общих характеристик, присущих любым колебательным системам независимо от их физической природы. Ее можно определить как величину, пропорциональную числу свободных колебаний, которые успевает совершить система за время переходного процесса вплоть до момента затухания, определяемого любым известным способом, например, по уровню 10% от начальной амплитуды. Конкретно принято определять добротность Q следующим образом:

энергии потерь, вычисленная за тот период колебаний, в который была найдена . Последнюю из данных характеристик можно выразить через мощность потерь:

электромагнитных объемных резонаторов. В целях большей общности будем полагать, что резонатор представляет собой замкнутый объем V,

ограниченный поверхностью S. Будем полагать также, что потери

71

энергии в резонаторе связаны лишь с конечной проводимостью материала стенок и диэлектрика, заполняющего резонатор, что представляет наибольший практический интерес. Расчет добротностей проведем следующим образом: сначала предположим, что стенки резонатора выполнены из идеального проводника без потерь, а

диэлектрик имеет потери, и далее наоборот – металл с потерями,

диэлектрик идеальный.

Как показал Максвелл энергия, запасаемая в электрическом и магнитном полях, выражается интегралами по объему резонатора

Заметим, что в формулу (4.26) надо подставлять величины Е или Н,

которые относятся к идеальному резонатору без потерь.

Мощность потерь в диэлектрике определим согласно (1.53), с учетом того, что проводимость диэлектрика с потерями можно представить как

72

В результате добротность при потерях в металле:

Вычисленное Результирующая добротность при потерях обоих видов, определяется как

Для большинства объемных резонаторов, используемых на практике,

в справочной литературе приводятся формулы для расчета добротности

(в основном связанной с потерями в металле). Например,

прямоугольный резонатор с типом колебаний H101 или, что то же самое,

E110 , обладает добротностью, вычисляемой по формуле

73

несколько ниже теоретических, предсказываемых формулой (4.33),

поскольку здесь не учитываются потери в трущихся контактах между боковой поверхностью резонатора и одной из торцевых поверхностей,

которую приходится перемещать вдоль оси в целях перестройки резонатора по частоте.

Во-вторых, в приведенных расчетах не учитывается шунтирующее действие внешних цепей, проявляющееся через элементы связи.

Поэтому добротность резонатора, найденную описанным способом,

принято называть ненагруженной или собственной добротностью в отличие от нагруженной добротности, которая оказывается тем ниже,

чем выше коэффициент связи резонатора с внешними цепями.

§4.7. Некоторые другие типы объемных резонаторов

Помимо уже рассмотренных прямоугольных и круглых объемных резонаторов в технике СВЧ находит применение ряд резонаторов других конструкций. В первую очередь сюда следует отнести коаксиальный объемный резонатор, получаемый путем закорачивания-отрезка коаксиальной линии передачи с обоих концов (рис. 4.17). Резонатор данной конструкции, как правило, работает на волнах типа ТЕМ, и

поэтому его поперечные размеры не имеют ограничения снизу. Данное свойство благоприятствует использованию коаксиального объемного резонатора на волнах дециметрового диапазона. Типы колебаний в коаксиальном резонаторе можно обозначать как TEM00 p (первые два индекса характеризуют отсутствие стоячих волн по цилиндрическим координатам и , последний индекс указывает на число стоячих

75

Рис. 4.17. Коаксиальный объемный резонатор Наличие внутреннего проводника увеличивает поверхность стенок

резонатора. По этой причине добротность коаксиального резонатора несколько ниже, чем добротность резонаторов, рассмотренных в § 4.6.

Наилучшее соотношение между объемом и поверхностью можно получить в сферическом объемном резонаторе, представляющем полую сферу с металлическими стенками, радиус которой порядка резонансной длины волны. Однако ввиду трудностей перестройки сферические объемные резонаторы находят на практике лишь ограниченное применение.

Интересным типом резонатора, сравнительно недавно использующимся в технике СВЧ, является так называемый диэлектрический резонатор, схематически изображенный на рис. 4.18.

Он представляет собой некоторое тело, обычно цилиндрической формы,

изготовленное из вещества с высокой диэлектрической проницаемостью

(специальная керамика), которое помещается внутри прямоугольного волновода. При этом отпадает надобность в каких-либо устройствах возбуждения. Подобный резонатор работает за счет использования

76

полного внутреннего отражения и может с успехом применяться для создания различных волноводных фильтров.

Остановимся, наконец, на одном весьма важном классе колебательных систем, интенсивно разрабатываемом в последние годы и носящем название открытых резонаторов. Появление открытых резонаторов было продиктовано необходимостью создания высокодобротных колебательных систем для лазеров светового и инфракрасного диапазонов. При этом рабочие частоты оказываются на много порядков выше, чем частоты диапазона СВЧ. Использование обычных принципов создания объемных резонаторов, подобных описанным, наталкивается на непреодолимые трудности.

Рис. 4.18. Диэлектрический объемный резонатор.

Например, прямоугольный объемный резонатор для волн светового диапазона, работающий на типе колебаний с индексами порядка нескольких единиц, должен обладать размерами граней в несколько световых длин волн, что составляет всего лишь несколько тысячных долей миллиметра. Очевидно, что практическое выполнение. такой конструкции не представляется возможным.

77

На первый взгляд может показаться, что разумно использовать объемные резонаторы с очень высокими, порядка тысячи и более,

значениями индексов т, п и р. Эта мера должна позволить значительно увеличить габариты конструкции и сделать их приемлемыми для изготовления. Однако нетрудно убедиться в том, что работа такого резонатора не может быть удовлетворительной по следующей причине.

Согласно (4.18) при больших величинах индексов абсолютная величина разности резонансных длин волн между соседними типами колебаний

(например, Hmnp и Hmnp 1 ) непрерывно уменьшается с ростом индексов.

Как следствие, рано или поздно частотный интервал между соседними типами колебаний становится меньше, чем ширина резонансной кривой.

При этом резонатор перестает выполнять роль фильтрующей системы.

От указанного недостатка полностью свободна система,

изображенная на рис. 4.19 и носящая название открытого объемного резонатора конфокального типа. Данный резонатор представляет собой систему из двух металлических зеркал сферического профиля; фокусные расстояния зеркал равны половине длины системы. Принципиально важно, что все геометрические размеры системы (диаметр зеркал,

фокусное расстояние) значительно превышают рабочую длину волны.

Теоретически и экспериментально было показано, что в конфокальном резонаторе существует, вообще говоря, бесконечная последовательность отдельных типов колебаний, различающихся между собой как структурой электромагнитного поля, так и резонансными частотами.

Общим для всех типов колебаний в конфокальном резонаторе является то, что поля этих типов колебаний локализованы в относительно узкой околоосевой области.

78

Рис. 4.19. Открытый объемный резонатор Открытым колебательным системам присущ специфический

механизм потерь, заключающийся в утечке части мощности за края зеркал. Данные потери носят название дифракционных потерь и связаны с конечностью поперечника зеркал. Для оценки величины дифракционных потерь принято вводить так называемый дифракционный параметр

§4.8. Общая постановка задачи о

колебаниях в объемном резонаторе

Подробно рассмотренные прямоугольные и круглые объемные резонаторы обладают весьма простой геометрией и по этой причине могут быть изучены как закороченные отрезки соответствующих волноводов. Однако может быть поставлена теоретическая задача о

79

свободных колебаниях электромагнитного поля в замкнутом объеме V

произвольной формы, ограниченном идеально проводящей поверхностью S. Подобная задача описывается однородным уравнением Гельмгольца

B математической физике показано, что данная краевая задача имеет

бесчисленное множество нетривиальных решений (собственных функций), каждому из которых отвечает вполне определенное значение волнового числа k. Эти волновые числа образуют совокупность собственных значений краевой задачи и определяют собой множество резонансных длин волн в рассматриваемой системе.

С физической точки зрения процесс в резонаторе произвольной формы также может быть рассмотрен как интерференция всевозможных бегущих волн, однако здесь форма волновых фронтов отвечает конкретной геометрии стенок и не может быть приведена к плоским,

цилиндрическим или сферическим волнам. Совершенно очевидно, что классификация типов колебаний в произвольном резонаторе, основанная на выделении волн типа Е или Н, также теряет всякий смысл. Здесь естественно располагать отдельные типы колебаний в порядке укорочения резонансных длин волн.

80