Лабораторная работа № 8
Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре
Цель работы: исследование амплитудно-частотной и фазово-частотной зависимостей напряжения на конденсаторе в последовательном колебательном контуре.
Приборы и оборудование: катушка, конденсатор, резистор переменного сопротивления, генератор синусоидального напряжения, цифровой вольтметр, электронный осциллограф.
Теоретическая часть
R |
L |
C |
|
E |
|
Рис.1. Последовательный
колебательный контур
На рис.1 изображен последовательный колебате- льный контур. Согласно
второму правилу Кирхгофа в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна внешней ЭДС:
Здесь |
|
uL + uR + uC = E . |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
uL = L dtdi , |
uR = Ri , |
uC = |
1 |
òidt - |
(2) |
C |
|||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
мгновенные (зависящие от времени) напряжения на катушке, резисторе и конденсаторе; i = dq / dt - сила тока в
контуре; q - заряд конденсатора. Уравнение (1) с учетом (2)
может быть преобразовано к виду
|
d 2uC |
+ 2β |
duC |
+ ω02uC = ω02E , |
(3) |
|
dt2 |
dt |
|||
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
ω2 =1/ LC , |
β = R / 2L . |
(4) |
|||
0 |
|
|
|
|
|
Нас будет интересовать случай, когда внешняя ЭДС
меняется по гармоническому закону
E = Em cosωt
( Em и ω - амплитуда и частота колебаний ЭДС). Тогда
частное решение уравнения (3), описывающее установившиеся колебания напряжения на конденсаторе, имеет вид:
uC =UCm cos(ωt − ϕC ) , |
|
|
(5) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
E ω2 |
|
|
|
|
UCm = |
|
m |
0 |
|
- |
(6) |
|
|
|
|
|||
(ω2 − ω2 )2 |
+ (2βω)2 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
амплитуда колебаний напряжения uC ; ϕC - фазовый сдвиг,
tgϕC = |
2βω |
. |
(7) |
|
ω02 − ω2 |
||||
|
|
|
Из формулы (5) видно, что напряжение на конденсаторе колеблется с частотой внешнего воздействия ω , которое оказывает на контур источник ЭДС E. Такие колебания называют вынужденными, а частоту ω называют частотой вынужденных колебаний. Амплитуда UCm и фаза ϕC
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
вынужденных колебаний зависят от частоты внешнего воздействия ω и параметров контура. Параметры контура (L, C и R) входят в формулы (6), (7) через величины ω0 и β .
Величина ω0 представляет собой частоту собственных
незатухающих колебаний, которые могли бы происходить в контуре в отсутствие внешнего воздействия и затухания, т.е. при E = 0 и R = 0, а β - коэффициент затухания
собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением R.
Особый интерес представляют зависимости амплитуды UCm
ифазы ϕC от частоты внешнего воздействия ω .
Рассчитанные по формулам (6), (7) графики зависимостей UCm (ω) и ϕC (ω) в относительных единицах представлены на рис.2 и 3.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
UCm/Em |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
R |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
2R |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 0,4 0,6 |
0,8 |
1,0 1,2 |
1,4 |
1,6 1,8 ω/ω0 |
||
Рис.2. Амплитудно-частотные зависимости напряжения на |
|||||||
|
|
конденсаторе |
|
|
|||
ϕC |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2R |
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 0,4 0,6 |
0,8 |
1,0 1,2 |
1,4 |
1,6 1,8 ω/ω0 |
||
Рис.3. Фазово-частотные зависимости напряжения на |
|||||||
|
|
конденсаторе |
|
|
|||
Амплитуда напряжения на конденсаторе достигает резкого |
|||||||
максимума (резонанса) при частоте внешней ЭДС ω равной |
|||||||
|
ω |
рез |
= |
ω2 |
− 2β2 . |
(8) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Эту формулу нетрудно получить, исследуя на минимум подкоренное выражение в (6). Заметим, что резонансная
частота в данном случае отличается как от собственной частоты незатухающих колебаний w0 , так и от частоты
затухающих колебаний в контуре wзат = 
w02 - b2 . Однако в
большинстве практически важных случаев коэффициент
затухания мал ( 2b2 << w2 ) и w |
рез |
» w |
0 |
» w |
зат |
. Амплитуда |
0 |
|
|
|
напряжения на конденсаторе в этом случае (при резонансе)
определяется формулой
U |
|
(w |
|
) » |
w0 |
E . |
(9) |
|
|
2b |
|||||
|
Cm |
|
рез |
|
m |
|
Важной характеристикой колебательного контура является добротность
Q = |
UCm (wрез ) |
, |
(10) |
|
Em |
||||
|
|
|
т.е. отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе UCm (wрез ) к амплитуде внешней ЭДС. При
слабом затухании ( 2b2 << w2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q » |
|
= |
|
L |
. |
|
|
(11) |
|||||
|
2b |
R |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||
При низких частотах, |
когда |
w << w |
и |
w << w2 |
/ 2b , из |
|||||||||
формулы (6) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
» E |
æ |
|
|
w2 |
ö |
|
|
|
|
(12) |
||
Cm |
ç1 + |
2 |
÷ » E . |
|
||||||||||
|
|
m |
ç |
|
|
÷ |
|
|
m |
|
|
|||
|
|
|
|
è |
|
|
w0 |
ø |
|
|
|
|
|
|
Этот результат физически понятен: при низких частотах
сопротивление конденсатора велико и на нем падает практически все приложенное к контуру напряжение. Из формулы (12) следует, что, если, например, частота колебаний
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com