Лабораторная работа № 3
Изучение магнитного поля на оси соленоида
Цель работы: исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.
Приборы и оборудование: генератор синусоидального тока, цифровой вольтметр, соленоид, зондовая катушка, компас.
Теоретическая часть
Рассмотрим проводник, намотанный по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Если шаг винтовой линии мал по сравнению с радиусом витка, то магнитное поле соленоида можно рассматривать как результат сложения полей, создаваемых круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось.
Величина индукции магнитного поля в некоторой точке A на оси кругового тока i радиуса R (рис.1) определяется
выражением
B1 = |
μ0 |
|
iR2 |
|
, |
|
(1) |
|
|
|
2 r3 |
|
|
r |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
которое |
можно |
получить, |
|
|||||||
воспользовавшись |
законом |
|
R |
|||||||
Био - Савара и принципом |
|
|
B1 |
|||||||
суперпозиции |
|
(см. |
|
A |
|
|||||
Приложение к работе), |
где |
i |
||||||||
μ0 - магнитная |
постоянная; |
|
|
|
||||||
r - модуль |
вектора |
r , |
Рис.1. Круговой ток |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
определяющего положение точки A.
Если соленоид имеет длину l и содержит N витков, то малая часть соленоида длиной dl (рис.2,а) содержит (N / l)dl
витков и может рассматриваться как круговой ток величиной di = i(N / l)dl . С учетом того, что
dl sin ϕ = rdϕ
(рис.2,б, dϕ - бесконечно малое приращение угла ϕ ),
получим для индукции магнитного поля в точке А на оси такого "элементарного" соленоида
dB = μ0 R22nidϕ ,
2 r sin ϕ
где n = N / l соленоида.
- число витков, приходящихся на единицу длины Так как R = r sin ϕ , то
dB = |
μ0 |
in sin ϕdϕ . |
(2) |
|
2 |
||||
|
|
|
Проинтегрировав выражение (2) в пределах от ϕ1 до π/2 (рис.2,в), получим индукцию магнитного поля в точке А1, лежащей на торце соленоида:
B = |
μ0in cosϕ = μ0in |
|
l |
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
2 |
|
l2 + R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Магнитное поле в произвольной точке A, лежащей на оси соленоида внутри него, может быть вычислено как сумма полей, создаваемых соленоидами C1 и C2 (рис.2,в), а в точке A', лежащей вне соленоида, магнитное поле равно разности полей, создаваемых соленоидами С3 и С4. В результате получим:
dl |
|
dl |
|
|
|
r |
|
|
r |
dϕ |
|
ϕ |
A |
|
ϕ |
A |
|
|
|
||||
а |
|
|
|
б |
|
C1 |
C2 |
|
C4 |
|
|
R |
ϕ1 |
O |
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
l |
A1 |
|
A' |
x |
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
Рис.2. К выводу формулы (3) |
|
|
|
||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
é |
|
l + x |
|
|
|
|
|
x |
|
ù |
|
||
B = m0ni ê |
|
|
- |
|
|
|
|
|
ú, |
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 ê |
|
2 |
+ R |
2 |
|
|
x |
2 |
+ R |
2 |
ú |
|
|
ë |
|
(l + x) |
|
|
|
|
|
û |
|
||||
где x > 0 вне соленоида и − l < x < 0 внутри соленоида.
Из выражения (3) следует, что в центре соленоида ( x = −l / 2 )
индукция магнитного поля равна
B0 = |
|
m0ni |
|
. |
(4) |
|
|
|
|
||||
1+ (2R / l)2 |
||||||
|
|
|
|
|||
В случае длинного соленоида ( 4R2 / l2 << 1) магнитное поле в его центральной части слабо зависит от x ( B » m0ni ) и
начинает заметно уменьшаться лишь на расстояниях (2…3)R от торцов соленоида. На торце длинного соленоида индукция магнитного поля становится равной m0ni / 2 .
Формула (3) справедлива не только для постоянных i и B, но
идля мгновенных значений изменяющихся во времени тока
имагнитного поля, если только их изменения не происходят слишком быстро (для квазистационарных токов). В
частности, если ток через соленоид меняется по закону i = Im cos wt , то по такому же закону меняется и магнитное
поле B = Bm cos wt , причем амплитудные значения тока Im и магнитного поля Bm на оси соленоида связаны формулой (3), в которой i = Im , B = Bm .
Описание эксперимента
Измерения магнитного поля в данной работе проводятся на переменном токе и основаны на законе электромагнитной индукции. Электрическая схема установки приведена на рис.3. Магнитное поле в соленоиде создается переменным
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
током i = Im cos ωt известной частотыω = 2 πν |
(на рис.3 Г - |
||||
генератор переменного напряжения; К - компас). В этом |
|||||
случае магнитное поле в соленоиде также зависит от |
|||||
времени: B = Bm cos ωt . |
|
|
|
|
|
На оси соленоида располагается специальный зонд, |
|||||
который представляет собой маленькую катушку, |
|||||
подключенную ко входу электронного вольтметра. По |
|||||
закону электромагнитной индукции в катушке-зонде |
|||||
возникает ЭДС индукции |
|
|
|
|
|
|
E = − dΦ , |
|
|
|
|
|
i |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Φ - магнитный поток через витки зондовой катушки. |
|||||
Если магнитное поле, пронизывающее витки катушки, |
|||||
можно считать однородным и перпендикулярным |
|||||
плоскости ее витков, |
то |
Φ = BSк Nк , |
где |
Sк = πdк2 / 4 |
- |
Катушка-зонд |
Соленоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
RT |
Г |
|
Д |
|
|
|
|
|
|
Uэфф1 |
2 |
3 U |
|
П2 |
|
|
|
T |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
Рис.3. Электрическая схема установки |
|
||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
площадь одного витка; |
Nк - число витков в катушке; dк - |
|
диаметр витка. Тогда |
|
|
E = |
πdк2 Nкω |
B sin ωt . |
|
||
i |
4 |
m |
|
|
|
Вольтметр, подключенный к зондовой катушке, измерит
эффективное значение напряжения на ней |
Uэфф = Eim / |
2 |
, |
||||||||||||
где |
E |
= πd 2 N |
к |
ωB |
m |
/ 4 |
- |
максимальное |
значение ЭДС |
||||||
|
im |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
индукции. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
= |
(πdк )2 Nкν |
B , |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
эфф |
|
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
ν = ω/ 2π - |
частота переменного тока через соленоид. |
|||||||||||||
Зная диаметр катушки, число витков, частоту и измерив напряжение на зондовой катушке, можно рассчитать значение индукции магнитного поля Bm , созданного током
Im в соленоиде в том месте, где расположена зондовая катушка. Перемещая катушку вдоль оси соленоида, можно
снять зависимость Bm (x) |
и сравнить ее с теоретической. |
||
Амплитуда тока Im рассчитывается по закону Ома |
|||
Im = |
|
|
UT / RT , |
|
2 |
||
где UT - эффективное значение напряжения на резисторе |
|||
RT , который включен последовательно с соленоидом (см.
рис.3).
Переключатель П1 имеет два положения. Когда он находится в положении "Uэфф", замкнуты контакты 1-2, 4-5, и вольтметр измеряет напряжение на зондовой катушке. Когда переключатель находится в положении "UT", замкнуты контакты 2-3, 5-6, и вольтметр измеряет
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com