Лабораторная работа № 5
Свободные колебания в колебательном контуре
Цель работы: изучение затухающих колебаний в колебательном контуре при различных значениях емкости, индуктивности, активного сопротивления.
Приборы и оборудование: катушка с обмоткой возбуждения и электронным ключом, набор конденсаторов, магазин сопротивлений, генератор прямоугольных импульсов, электронный осциллограф.
Теоретическая часть
На рис.1 изображена цепь, называемая последовательным
колебательным контуром (С |
|
L |
|||
- емкость конденсатора; L - |
|
|
|||
индуктивность катушки; R - |
|
R |
|||
суммарное |
|
активное |
|
||
сопротивление |
контура). В |
i |
+q C |
||
этой цепи могут |
возникать |
|
|
||
электрические |
колебания - |
Рис.1. Последовательный |
|||
циклические |
|
изменения |
|||
|
колебательный контур |
||||
протекающего |
в |
контуре |
|||
|
|
||||
тока i и падений напряжения на элементах цепи. При R = 0
эти колебания являются гармоническими и запасенная в контуре энергия
W = |
Li2 |
+ Cu2 |
(1) |
|
2 |
2 |
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
остается постоянной (u - напряжение на конденсаторе). В
процессе колебаний происходит лишь перераспределение этой энергии между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности.
Если же сопротивление контура R отлично от нуля, то запасенная в контуре энергия W уменьшается во времени вследствие выделения тепла на сопротивлении R:
dW |
= −i2R . |
(2) |
dt |
|
|
Одно из направлений тока примем за положительное (оно показано на рис.1 стрелкой). Обозначим через q заряд той
из обкладок конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением тока.
Из определений силы тока и электроемкости следует
i = dq |
, |
u = |
q |
. |
(3) |
|
|||||
dt |
|
|
C |
|
|
После несложных преобразований из (1) - (3) получим
следующее уравнение относительно неизвестной функции времени u = u(t):
|
|
|
d 2u |
+ 2β du + ω2u = 0 , |
(4) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt2 |
dt |
0 |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
ω2 |
= |
, |
β = |
. |
(5) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
LC |
|
|
2L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При ω2 |
> β2 |
уравнение (4) имеет решение |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u =U0e−βt cos(ωt + α) , |
(6) |
|||||||
описывающее затухающие колебания напряжения (рис.2,а).
Частота затухающих колебаний
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
u |
u1 |
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
u3 |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t1 |
t2 |
t3 |
|
t |
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
б
0 |
t1 |
t2 |
t3 |
t |
|
Рис.2. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе
(а)
и тока в колебательном контуре (б)
|
|
|
ω = ω02 − β2 |
(7) |
|
зависит от параметров контура (L, C и R), а постоянные U0
и α определяются начальными условиями (значениями напряжения u и тока i при t = 0). Множитель
Um = U0e−βt , |
(8) |
стоящий перед периодической функцией в формуле (6), называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени, причем время, за которое амплитуда уменьшается в e раз, равно 1/β .
Величина β , таким образом, характеризует скорость
затухания |
амплитуды |
колебаний |
и |
называется |
коэффициентом затухания. |
|
|
амплитуда Um |
|
За каждый |
период колебаний T = 2π / ω |
|
||
убывает в |
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
Um (t) |
= eβT |
|
||
Um (t + T ) |
|
||||
|
|
|
|||
раз. Логарифм этого отношения |
|
|
|
||
λ = ln |
Um (t) |
= βT |
(9) |
||
Um (t + T ) |
|||||
называется логарифмическим декрементом затухания.
Затухание колебаний в контуре характеризуют также добротностью контура Q , которая определяет относительные потери энергии за один период колебаний:
Q = 2π |
W |
= 2π |
|
W (t) |
. |
(10) |
|||
W |
W (t) −W (t + T ) |
||||||||
|
|
|
|
||||||
При малом затухании, когда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
β2 << ω2 |
|
|
|
|
(11) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
T ≈ 2π / ω0 = 2π |
|
|
, |
|
(12) |
||||
|
LC |
|
|||||||
из формулы (10) после ряда преобразований следует |
|
||||||||
|
|
Q ≈ π / λ . |
|
|
|
|
(13) |
||
Зависимость тока i от времени также имеет вид затухающих колебаний, что вытекает из формул (3), (6). Причем в случае
слабого затухания (β2 << ω02 ) колебания тока i(t) опережают по фазе колебания напряжения u(t) на π/2:
i = I0e−βt cos(ωt + α + π / 2) ,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com