_{Лабораторная работа №} 9. «Числовые ряды»

Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Оценка остатка ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел Рассмотрим выражение , представляющее собой «сумму бесконечного множества слагаемых». Оно называется числовым рядом, а сами числа – членами ряда.

Член ряда с произвольным номером называется общим членом.

Числа , , и т.д. называются частичными суммами ряда. Обобщая: -я частичная сумма есть сумма первых членов ряда:

.

Если последовательность частичных сумм ряда имеет конечный предел, т.е. существует число , то ряд называется сходящимся, а число называется суммой ряда. В этом случае также говорят, что ряд сходится к сумме и пишут .

Если же равен бесконечности или не существует, то говорят, что ряд расходится или, что он не имеет суммы.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при .

С помощью этого признака можно доказывать лишь расходимость ряда.

Упражнение 1. Используя MATLAB и необходимый признак сходимости определить расходящийся ряд, не требующий дополнительного исследования:

1) ; 2) ; 3) (использовать тригонометрическую форму представления комплексного числа).

Упражнение 2 (повтор из лаб. работы первого курса). Создать M-функцию, которая строит в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. При построении этой пары графиков использовать разные цвета и маркеры. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и число рассматриваемых членов. В качестве выходных параметров вывести значения . Применить созданную М-функцию для исследования следующих рядов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

Сумму ряда S можно найти с использованием средств Matlab.

В MATLAB сумма от до бесконечности может быть вычислена только аналитически; с этой целью необходимо определить переменную суммирования (в нашем случае ) с помощью syms; функция суммирования числовых рядов в MATLAB имеет вид:

symsum(a_n, n, n1, n2)

здесь a_n – член числового ряда, n – переменная суммирования, n1 – начальное значение переменной суммирования, n2 – конечное значение переменной суммирования.

При нахождении суммы ряда в качестве n2 выступает бесконечность; в MATLAB для ее обозначения используется зарезервированный символ inf.

Пример 1. а) Найти сумму ряда и сравнить с полученным результатом в упражнении 2;

б) вычислить частичные суммы при и внести их в таблицу;

в) при каждом из указанных вычислить абсолютную погрешность;

г) при каждом из указанных вычислить относительную погрешность и оценить

количество верных цифр и значение суммы.

Решение. а) >> syms n; S_inf=symsum(3/(n^2+5*n+6),n,0,inf)

S_inf = 3/2

б) >> syms N; S=symsum(3/(n^2+5*n+6),n,0,N)

S = -3/(N+3)+3/2

% Сформируем вектор N={10², 10³, 10⁴, 10⁵}.

>> N=[10^2, 10^3, 10^4, 10^5] N = 100 1000 10000 100000

% Вычислим значения частичных сумм S_i = S(N_i) ряда при соответствующих значениях N_i.

>> S=-3.0./(N+3)+3/2 S = 1.4709 1.497 1.4997 1.5

% Создадим таблицу:

i	Ni	S(Ni)
1	100	1.4709
2	1000	1.497
3	10000	1.4997
4	100000	1.5

в) % Для каждой величины S(N_i) вычислим абсолютную погрешность используя встроенную функцию abs:

>> D=abs(S-3/2)

D = 0.0291 0.0030 0.0003 0.0000

% запишем в другом формате:

>> format long >> D

D
0.02912621359223	0.00299102691924	0.00029991002699	0.00002999910003

Для отображения погрешности обычно пользуются следующим форматом:

>> format short e >> D

На экране мы увидим:

D
2.9126e-002	2.9910e-003	2.9991e-004	2.9999e-005

г) % Для каждой величины S(N_i) вычислим относительную погрешность и определим количество верных цифр.

>> d=D./1.5

d =

1.9417e-002 1.9940e-003 1.9994e-004 1.9999e-005

д) Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа

Пусть положительное число представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби , где цифра числа в -м разряде, – старший десятичный разряд числа.

Если положительное приближенное число имеет относительную погрешность , то количество верных знаков данного числа равно ближайшему целому числу, заданному формулой .

% Для каждой величины S(N_i) определим количество верных цифр.

% Введем вспомогательный вектор a, который в нашем случае примет вид:

>> a=[1 1 1 1];

% вычисляем количество верных цифр:

>> n=1-log10(a.*d) n = 2.7118e+000 3.7003e+000 4.6991e+000 5.6990e+000

% округлим полученные значения до целых, меньших или равных n:

>> n=floor(n) n = 2 3 4 5

Для записи численных значений найденных частичных сумм, округленных до найденного ранее количества верных цифр необходимы их более точные значения:

>> format long >> S S =

1.47087378640777 1.49700897308076 1.49970008997301 1.49997000089997

% окончательно округляем частичные суммы, оставляя только верные цифры:

S1	S2	S3	S4
1.5	1.50	1.500	1.5000

Упражнение 3. а) Используя функцию суммирования symsum(a_n, n, n1, n2) для n2=inf, установить сходимость рядов 1-6;

б) вычислить частичные суммы при указанных и внести их в таблицу;

в) при каждом из указанных вычислить абсолютную погрешность;

г) при каждом из указанных вычислить относительную погрешность и оценить количество верных цифр и значение суммы.

Указание. В случае, когда частичная сумма выдается в символьном виде, воспользуйтесь командой vpa(ans, m), где m – количество показываемых цифр числа.

1) (); 2) ();

3) (); 4) ();

5) (); 6) ().

Упражнение 4. Вычислить суммы:

1) ; 2) (считает где-то до 1000, поэтому дать приближенный ответ); 3) .

На дом (повтор из лаб. работы первого курса)

Оценка остатка ряда с положительными членами

Для ряда ряд называют -м остатком ряда. Если сходится ряд , то сходится и его остаток, причем их суммы связаны соотношением (здесь – сумма ряда, – сумма остатка). Утверждение об оценке остатка ряда. Если для ряда с положительными членами существует такое число , что при всех , начиная с некоторого , выполняется неравенство , то сумма -го остатка при удовлетворяет неравенству .

Для выполнения следующего упражнения, Вам, возможно, понадобится оператор цикла с неопределенным числом операций while … end. Его синтаксис:

while <логическое выражение>

<инструкции>

еnd

Этот оператор многократно выполняет инструкцию или группу инструкций, пока логическое выражение истинно. Логическое выражение имеет форму:

выражение <оператор отношения> выражение

оператор отношения: ==, <=, >=, <, >, ~

Упражнение 1. Пусть к ряду применимо утверждение об оценке ряда. Создайте M-функцию, которая оценивает число членов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции используйте формулу общего члена последовательности и точность . Применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а) ; б)

Указание. Для ряда а) имеем: – при увеличении монотонно уменьшается от до . Для ряда б): – убывает от до нуля.

М-функция может содержать два цикла. В первом цикле, начиная с , вычисляем и до тех пор, пока выполняется неравенство .

Во втором цикле продолжаем вычислять и , а также . Второй цикл заканчивается при выполнении условия . Выходными параметрами М-функции должны быть и .

Комментарии к работе в комп. зале.

Пример 1. Найти сумму ряда .

>> syms k n x v

syms x k

symsum(x^k/sym('k!'), k, 0,inf)

ans = exp(x)

Пример 2. Найти сумму ряда .

>> syms n

>> symsum(1/n^2,n,1,inf)

ans = 1/6*pi^2

Пример 3. Найти сумму ряда .

>> syms n

>> symsum((-1)^n/n,n,1,inf)

ans = -log(2)

Пример 4. Найти сумму ряда .

>> syms n

>> symsum(1/n^3,n,1,inf)

ans =

zeta(3)

>> vpa(ans,8)

ans = 1.2020569

Следовательно, результат выражается через дзета – функцию Римана (справка по этой функции – doc zeta) и равен zeta(3)≈1,2020569.

Пример 5. Найти сумму ряда .

>> sym s n; symsum(cos(n*pi)/n^2,n,1,inf)

ans =

-hypergeom([1, 1, 1],[2, 2],-1)

>> vpa(ans,8)

ans = -.82246703

Следовательно, результат выражается через гипергеометрическую функцию (справка по этой функции – doc hypergeom) и равен

= -hypergeom([1, 1, 1],[2, 2],-1) ≈ -0,82246703.

Пример 7. Найти сумму ряда .

>> syms n

>> symsum(cos(n)/n^2,n,1,inf)

ans =

polylog(2, 1/exp(i))/2 + polylog(2, exp(i))/2

Следовательно, результат выражается через полилогарифмическую функцию и равен

>> vpa(ans,5)

ans =

0.32414

Использование symsum для доказательства тождеств.

Пример 8. Найти конечную сумму с переменным верхним пределом для

>> syms k

>> symsum(k^2,k,0,10)

ans =

385

>> syms k n

>> symsum(k^2,k,0,n)

ans =

1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6

>> pretty(ans)

3 2

1/3 (n + 1) - 1/2 (n + 1) + 1/6 n + 1/6

Пример 9. Найти конечную сумму с переменным верхним пределом для .

>> syms k n

>> symsum(cos(k*pi/2),k,1,n)

ans =

1/2*sin(1/2*(n+1)*pi)-1/2*cos(1/2*(n+1)*pi)-1/2

simple(ans)

ans =

1/2*cos(1/2*n*pi)+1/2*sin(1/2*n*pi)-1/2

11