Для нормального распределения отношение µ4 / σ4 равно трем. Это отношение принимают за эталон для всех распределений и величину eX = ( µ4 / σ4 ) - 3 называют коэффициентом эксцесса.
Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Для нормального закона он равен нулю. Для более островершинных распределений коэффициент эксцесса положительный, для менее островершинных - отрицательный.
Нормальное распределение с параметрами m = 0 и σ = 1 называется
стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения
f (x) = |
1 |
e−x2 / 2 , −∞ < x < ∞. |
|
2π |
|
График плотности симметричен относительно нуля. ♦
§ 12. Функция распределения нормального закона
Функция распределения стандартного нормального закона равна интегралу
x |
1 |
e−t 2 / 2dt , |
F(x) = ∫ |
||
−∞ |
2π |
|
|
|
но этот интеграл не берется в элементарных функциях. Функция F(x) относится к специальным функциям. Она обозначается Ф(x), значения
ееможно найти в таблицах справочника по специальным функциям.
Всилу симметричности стандартной нормальной плотности
относительно нуля Ф(–x) = 1 – Ф(x), –∞ < x < ∞.
Утверждение 10. Функция распределения F(x) нормального закона с параметрами m и σ связана c функцией распределения стандартного нормального закона следующим соотношением:
F(x) = Ф x −m .
σ
Доказательство.
|
x |
|
|
1 |
|
|
−(x−m)2 |
|
|
x −m |
|
|
|
dx |
|
|
|||
|
∫ |
|
|
|
e 2σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
F(x) = |
|
|
|
|
|
|
dx = t = |
|
|
; |
dt = |
|
; |
= |
|||||
|
σ 2π |
|
|
|
σ |
σ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
1 |
|
|
2 |
x − m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∫ |
e−t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
/ 2dt = Ф |
|
|
|
.♣ |
|
|
|
||||||
|
|
2π |
|
|
σ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 19. Письменная работа на тестовых экзаменах оценивается в процентах. Cредняя оценка оказалась равной 50. Восемь десятых от общего количества абитуриентов получили оценки от 30 до 70. Cчитая, что оценка за письменную работу X имеет нормальное распределение, находим среднее квадратическое отклонение этого распределения:
Р(30 ≤ X ≤ 70) = F(70) – F(30) = Ф((70-50)/σ) – Ф((30 – 50)/σ) =
=Ф(20/σ) – Ф(–20/σ) = 2 Ф(20/σ) – 1 = 0,8.
Отсюда Ф(20/σ) = 0,9. Из таблицы функции распределения стандартного нормального закона следует, что 20/σ = 1,28 и σ ≈ 15,625.
♦