счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третье утверждение называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (Ω, А, P) называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры А положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.♦

Лекция3

§ 7. Условные вероятности

Если в одном эксперименте могут произойти события А и В, то возникает вопрос, как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Характеристикой связи событий является условная вероятность.

Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов, приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства, то условную вероятность события А (при условии, что событие В произошло) можно рассматривать как долю исходов, приводящих к событию А во множестве элементарных исходов, образующихсобытиеВ.

Условная вероятность события А (при условии, что событие В произошло) определяется поформуле: Р(А/В) = P(AB)/P(B), еслиР(В) > 0.

Величину Р(А/B) можно считать вероятностью события А в новых условиях (вусловиях наступлениясобытия В).

Пример 9. Первая цифра телефонного номера, записанного в телефоннойкнижке, стерлась.

Если владелец книжки наберет любую цифру вместо стершейся, то может произойти событие А: "владелец книжки дозвонится с первого раза".

Р(А) = 1/9.

Пусть стало известно, что телефонные номера в этом районе начинаются с цифр "1" и "2". Событие В: "первая цифра телефонного номера 1 или 2". Р(B) = 2/9.

Доказательство cразу следует из определения условной вероятности. ♣

Утверждение 4. Формула вероятности пересечения n событий (n > 2) получается из формулы Буля, если операции объединения и

индексов. ♣

§ 9. Зависимые и независимые события

Cобытия А и В называются независимыми, если наступление события В не влияет на возможность наступления А, т.е. условная вероятность Р(А/В) равнабезусловнойвероятностисобытияА: Р(А/В) = Р(А).

Пример 10. Из колоды в 36 карт наугад вынимают карту. Cобытие А: "эта карта - дама", событие В: "эта карта пиковой масти". Зависимы ли эти события?

Р(А) = 4/36 = 1/9, Р(А/B) = Р(АВ)/Р(В) = (1/36)/(9/36) = 1/9. События независимы.♦

Приведемсвойстванезависимых событий.

Утверждение 5. События А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения равна произведению вероятностей:

Р(АВ) = = Р(А)Р(В).

Доказательство. Необходимость. Р(АВ) = Р(В)Р(А/B) = Р(В)Р(А).

Достаточность. Р(А) = Р(А)Р(В)/Р(В) = Р(АВ)/Р(В) = Р(А/В). ♣

Из утверждения 5 также следует, что события А и В зависимы или независимыодновременно.

Утверждение 6. Если события А и В независимы, то события A и В тоженезависимы.

Длядоказательства используемтретьюаксиомувероятности:

P( AB) = P(B − AB) = P(B) − P( AB) =

= P(B) − P( A)P(B) = P(B)(1 − P( A)) = P(B)P( A) . ♣

Пример 11. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность, чтосуммавыпавшихочковчетна?

Cобытие А1 - "четное число очков на первой кости", A2 - "на второй",

А1 иА2 независимы, то P(A) = P(A1) P(A2 ) + P(A1) P(A2 ) . ♦

Если рассмотреть n (n > 2) cобытий, то попарной независимости недостаточно для независимости n событий в совокупности.

Определение. Cобытия В1, В2,… ,Вn называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1 ≤ i1< i2 < …<ir ≤ n

Пример 12 (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, cиний и зеленый цвет, а четвертая грань - во все три цвета. Cобытие А: "на плоскость выпала грань, cодержащая красный цвет"; событие В - "содержащая синий цвет"; событие C - "зеленый". Р(А) = Р(В) = Р(C) = 1/2, поскольку каждый цвет присутствует на двух гранях. Вероятность пересечения любых двух событий равна Р(АC) = Р(ВC) = Р(АВ) = 1/4. Отсюда следует, что любые два события независимы, например, Р(АC) = 1/4 = 1/2 1/2 = Р(А)Р(C). Cобытия А, В, C не являются независимыми в совокупности, так как Р(АВC) = 1/4 ≠ Р(А)Р(В)Р(C) = 1/8. ♦

§ 10. Формула полной вероятности

Пусть есть система непересекающихся событий H1, H2, H3, …, одно из которых обязательно осуществится в результате эксперимента. Такие события называют гипотезами. Пусть А - произвольное событие в этом

эксперименте. Очевидно, A UHk .

k

Теорема 1 (Формула полной вероятности).

P(A) = ∑P(Hk ) P(A/ Hk ) .

k