Лекция 4

Глава 2. Случайные величины

§ 1. Дискретные случайные величины

Если задано некоторое вероятностное пространство (Ω, А, Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве Ω.

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают, - соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на пять секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1. Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш - 100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100, x2 = 200, …,

x5 = 500. ♦

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы:

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины - это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение:

P(Х = хn) = Р{ω: Х(ω) = хn}.

но не превосходят а+ δ сразу для всех δ. Но это невозможно, так как любое значениех0, большееa, будетпревосходитьиa + δ принекоторыхδ. ♣

утверждение аксиомой. ♣ Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых

lim F(x) <1. Такие распределения называются несобственными. Их

x→∞

изучение выходит за рамки нашего курса.

§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k = 1, 2,…, с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение) дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме

числового ряда ∑xk pk , если ряд сходится абсолютно.

k

Пример4. Cреднийвыигрышвпримере1 составляет:

MX = 100(1/3) + 200(4/15) + 300(1/5) + 400(2/15) + 500(1/15) = 233,(3).♦ Cвойства математических ожиданий:

1)для любой постоянной величины C: MC = C;

2)для любой постоянной a: M(aX) = aMX;

3)для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X + Y) = MX + MY;

4)если случайные величины X(ω) и Y(ω) таковы, что X(ω) ≤ Y(ω) для всех ω Ω , то МX ≤ MY;

5)MX ≤ M X .

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин - дисперсия.

Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(X – MX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии следуют ее свойства:

1)для любой постоянной величины C: DC = 0;

2)для любой постоянной a: D(aX) = а2D(X).