Лекция 1.

Глава 1. Cлучайные события

§ 1. Предмет теории вероятностей

Возникновение теории вероятностей относят к XVII столетию и связывают с азартными играми. Именно азартные игры привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Своим появлением теория вероятностей обязана идеям таких великих математиков, как Бернулли, Лаплас, Гаусс.

Развитие естествознания в начале XX столетия потребовало решения следующего поколения задач и таким образом повлияло на выделение самостоятельного раздела в математике - теории вероятностей.

Объектом теории вероятностей является случайность или неопределенность, как правило, связанная с нашим незнанием. Например, при подбрасывании монеты невозможно учесть все факторы, которые влияют на ее положение после падения. Поэтому цель теории вероятностей состоит в раскрытии общих закономерностей, которые могли бы в удовлетворительной степени описывать происходящие явления. Если в классическом примере с подбрасыванием монеты результат отдельного эксперимента совершенно непредсказуем, средние результаты обнаруживают устойчивость.

Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб выпал 2048 раз (частота выпадения герба 0,508). Пирсон провел 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз (частота 0,5005). Это явление имеет общий характер. Частота какого-либо исхода в последовательности повторяемых в одинаковых условиях экспериментов приближается к некоторому числу P. В случае с монетой это число P = 1/2.

Естественно было бы число Р и принять за вероятность некоторого исхода. Однако проблема заключается в том, что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот, а

только с конечным числом ее членов и, следовательно, не можем судить о ее пределе.

§ 2. Пространство элементарных событий

Под случайными событиями в теории вероятностей понимают события, которые в результате эксперимента могут произойти или не произойти. Cлучайными событиями являются, например, изменения валютных котировок на торгах; сбой в системе WINDOWS во время нашей работывней; дватузавприкупеприигрев преферансит.д.

Некоторые случайные события можно разложить на более простые. Так, выпадение четного числа очков на игральной кости включает выпадение 2, 4 и 6, в то время как выпадение 2 уже ни на что разложить нельзя.

Неразложимые (или элементарные) события относятся к неопределяемым понятиям в математике, как точка или прямая. Можно привеститолькоихсвойства:

•в результате опыта обязательно происходит одно элементарное событие;

•элементарные события взаимно исключают друг друга, т.е. не могут наступитьодновременно водномэксперименте;

•каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходуможносудить, произошлоАилинет.

Элементарные события обычно обозначают малой греческой буквой

ω(омега). Их совокупность обозначают большой греческой буквой Ω и

называют пространством элементарныхсобытий (исходов).

Пусть Ω - пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Длялюбого события A вэтомэкспериментеможновыделить совокупность тех элементарных исходов, наступление которых влечет за собой наступление А. Совокупность таких элементарных исходов можно

отождествить с событием А. Принадлежность ω событию А обозначают ω

A.

Суммой событий А и В называют событие А+ В (или А В), состоящее из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событийАилиВ.

Произведением АВ (или А∩ В) называют событие, состоящее из элементарныхисходов, принадлежащиходновременно АиВ.

Разность событий А и В соответствует множеству А – В (или А\В), состоящему из элементарных исходов, принадлежащих А и не принадлежащих В.

Все пространство Ω называют достоверным событием, пустое множество - невозможным событием.

ДополнительнымксобытиюА называютсобытиеĀ= Ω – А. СобытияА иВназываютнесовместными, еслиАВ= .

§ 3. Классическое определение вероятности

Пусть пространство Ω состоит из N элементарных исходов, и пусть все эти исходы равновозможны. В этом случае вероятность события A определяется формулой

P(A) = N(A)/N,

где N(A) - число элементарных событий, которые приводят к наступлению события A.

Это и есть классическое определение вероятности.

Пример 1. Через остановку "Студенческая" проходят маршруты автобусов №№ 1, 7, 10, 12, 19. До остановки "Дом культуры" можно доехать только автобусами №№ 1, 7, 10 и 19. Считая равновозможными прибытия автобусов любого маршрута на остановку "Студенческая", определить вероятность того, что на первом подошедшем автобусе можно будет доехать до Дома культуры.

Пространство Ω состоит из 5 элементарных исходов, а благоприятных для нас только 4. Следовательно, вероятность интересующего нас события 4/5.♦

Классическое определение вероятности нельзя применить, если число исходов в пространстве Ω не ограничено.

Применение классического определения также некорректно, если элементарные исходы не являются равновозможными.

Пример 2 (Парадокс де Мере). Француз де Мере многократно наблюдал за игрой в кости. Он заметил, что при одновременном подбрасывании трех костей сумма очков, равная 11, выпадает чаще, чем сумма очков, равная 12. С его же точки зрения, эти события были равновероятными, так как сумму 11 можно получить шестью

способами: 6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 и сумму 12 - тоже шестью способами: 6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 4-4-4; 3-5-4.

Проблему де Мере разрешил знаменитый Паскаль, который заметил, что указанные комбинации не являются равновероятными. Например, комбинация 6-4-1 выпадает, если наступают следующие элементарные события: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6), а

комбинацию 4-4-4 дает только один элементарный исход.

Как следует правильно посчитать вероятности в данном случае? Надо рассмотреть пространство элементарных событий Ω = {a, b ,c}, где a, b, c - число очков на первой, второй и третьей костях. Всего элементарных событий N = 6 6 6 = 216. Из них к событию A (сумма равна 11) приводят 27 элементарных исходов, а к событию B (сумма равна 12) - только 25. Это иобъясняет подмеченную деМерезакономерность. ♦

§ 4. Некоторые комбинаторные формулы

Как правило, подсчет вероятностей по классической формуле сводится к решению чисто комбинаторных задач. Приведем наиболее часто используемые комбинаторные формулы.

1.Число перестановок. Пусть n элементов а1, a2 ,…,аn надо разместить по n позициям.

Сколькими способами это можно сделать? В первую позицию можно поместить любой из этих элементов (n различных вариантов), во вторую - любой из (n – 1)-го оставшегося, для заполнения третьей позиции существует только (n – 2) варианта и т.д. Общее число различных перестановок равно n(n – 1)(n – 2) … 1 = n!

2.Число размещений. Пусть теперь m элементов из n (m < n) надо разместить по m позициям.

Такие комбинации называются размещениями. Общее число

размещений из n элементов по m обозначается Anm и равняется

n(n – 1) (n – 2) … (n – m + 1), так как существует n вариантов разместить элемент в первой позиции, (n – 1) вариантов - во второй,…,

(n – m + 1) вариантов - в m-й позиции. Итак,

3. Число сочетаний. Рассмотрим выборки из n элементов по m (m < n), отличающиеся только составом, без учета порядка, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями. Поскольку m элементов можно переставлять m! способами, общее число

сочетаний Cnm будет в m! раз меньше, чем общее число размещений:

4. Число размещений с повторениями. Теперь, выбирая элемент из n элементов, будем запоминать его номер, а элемент возвращать обратно. Комбинации, которые могут получиться при таком m-кратном выборе, называются размещениями с повторениями. Общее число размещений с

5. Число сочетаний с повторениями. Выборку из n элементов по m с

возвращением можно проводить и без учета порядка, в котором элементы выбираются. Общее число получающихся при таком выборе сочетаний с

повторениямиČm = Cm+ − .

n n m 1

Докажем эту формулу по индукции. При m = 2 существуют следующиесочетания сповторениямиизn элементов:

(а1,а1),(а1,а2),(а1,а3)……………(а1,аn) n сочетаний; (а2,а2),(а2,а3)……………(а2,аn) (n – 1) cочетание; (а3,а3)……………(а3,аn) (n – 2) cочетания;

……………………………………….………………..

(аn,аn) 1 сочетание.

Всего cочетаний с повторениями из n элементов по 2: n + (n – 1) +

+ (n – 2) +…+ 1 = (n + 1) n/2 = C 2+ .

n 1

Предположим, формула Čk = Ck+ − верна при всех k от 2 до

n n k 1

(m – 1). Докажем еедляk = m.

При выборе m элементов из n c возвращением какие-то j позиций из m заняты элементами, которые встречаются первый раз, а m – j позиций - сочетаниями с повторениями из этих j элементов (по предположению

индукции ихČmj − j = Cmm−−1j ). Следовательно,

m

Čmn = ∑CnjCmm−−1j . j =1