Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин. ♣

§ 5. Kоэффициент корреляции и его свойства

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y) = M((X –

– MX)(Y – MY))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

corr(X ,Y ) = cov(X ,Y ) ,

σX σY

где σX и σY - средние квадратические отклонения случайных величин

X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются

некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность. Обратное неверно: коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные величины U и V имеют одинаковые распределения и X = U + V, Y = U – V. Тогда M(XY) = M(X 2) – M(Y 2) = 0

и M(Y) = 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)(Y) = 0, поэтому corr (X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы. ♦

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции и, следовательно, плотность распределения

где f1(x), f2 ( y) - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора свойства некоррелированности и независимости совпадают.♦

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами.

Утверждение 7. corr(X, Y) ≤ 1.

Доказательство. Введем случайную величину Z = σY X ± σX Y .

DZ = σY 2 DX + σX 2 DY ± 2σX σY cov(X ,Y ) =

= 2DX DY ± 2σX σY cov(X ,Y ) , DZ ≥ 0.

Cледовательно,

2σX 2σY 2 ± 2σX σY cov(X ,Y ) ≥ 0 ; 2σX σY ± cov(X ,Y ) ≥ 0 ;

±cov(X ,Y ) ≤ σX σY ; cov(X ,Y ) ≤ σX σY ; corr(X ,Y ) ≤1 .♣

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью Y = aX + b, то

cov(X , Y ) = M ((X − MX )(Y − MY )) = M [(X − MX )(aX + b − a MX −b)]= = a M (X − MX )2 = a DX ;

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9. Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности:

как бы "намагничивание" двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y.

Если коэффициент корреляции r = 0, уравнения эллипсов

(x − mX )2 + (y − mY )2 = C .

σ2X σY2

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, x = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет. ♦