- •Введение
- •Глава 1. Cлучайные события
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Пространство элементарных событий
- •§ 3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Некоторые комбинаторные формулы
- •§ 5. Геометрические вероятности
- •§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •§ 7. Условные вероятности
- •§ 8. Вероятность суммы и произведения событий
- •§ 9. Зависимые и независимые события
- •§ 10. Формула полной вероятности
- •§ 11. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Дискретные случайные величины
- •§ 2. Функция распределения случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 4. Моменты
- •§ 5. Производящая функция
- •§ 6. Биномиальное распределение
- •§ 7. Распределение Пуассона
- •§ 8. Геометрическое распределение
- •§ 9. Непрерывные случайные величины
- •§ 10. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 11. Примеры непрерывных случайных величин
- •§ 12. Функция распределения нормального закона
- •Глава 3. Cиcтемы случайных величин
- •§ 1. Распределение системы случайных величин
- •§ 3. Нормальное распределение на плоскости
- •§ 4. Зависимость и ковариация
- •§ 5. Kоэффициент корреляции и его свойства
- •Глава 4. Некоторые предельные теоремы
- •§ 1. Центральная предельная теорема
- •§ 2. Закон больших чисел
- •Литература
Предположим, что Р(Вk) = 1/4, k = 1,...,4. Пусть есть также пункт А. Если странник придет в B1, то из него он может попасть в пункт А по одному из трех равновероятных направлений: Р(А/В1) = 1/3. Аналогично,
Р(А/В2) = 1/2, Р(А/В3) = 1, Р(А/В4) = 1/5. Тогда по формуле полной вероятностиР(А) = 1/4 1/3 + 1/4 1/2 + 1/4 1 + 1/4 1/5 = 5/120. ♦
§ 11. Формула Байеса
Пусть Н1, H2, H3,... - гипотезы, и пусть известны вероятности Р(Нk), k = 1, 2, .... В результате эксперимента происходит некоторое событие А. Как изменятся вероятности гипотез при поступлении информации о том, чтособытиеАпроизошло? Ответдаетследующая теорема.
Теорема2 (ФормулаБайеса). P(Hi / A)= |
P(Hi ) P(A/ Hi ) |
, |
i = 1, 2, ... |
∑P(Hk ) P(A/ Hk ) |
k
Доказательство. Р(Нi/А) = Р(НiА)/Р(А). Заменим числитель в соответствии с теоремой умножения, а знаменатель - с формулой полной вероятности. ♣
Вероятности гипотез до эксперимента Р(Нk) называются априорными, авероятностиР(Нk/А) - апостериорнымиотносительнособытияА.
Пример 14. Спортсмены трех стран принимают участие в соревновании: 30 человек из первой страны, 25 - из второй и 20 - из третьей. Спортсмены первой страны завоевали 3 медали, второй - 5, третьей - 6. Какова вероятность, что случайно выбранный спортсмен, получившиймедаль, изтретьейстраны?
Гипотеза Н1 - спортсмен из первой страны, H2 - из второй, H3 - из третьей. Р(Н1) = 30/75 = 2/5; Р(H2) = 25/75 = 1/3; Р(H3) = 20/75 = 4/15.
Cобытие А - спортсмен получил |
медаль. Р(А/H1) |
= 3/30 = 1/10; |
|||
Р(А/H2) = 5/25 = 1/5; Р(А/H3) = 6/20 = 3/10. Вероятность, что спортсмен - из |
|||||
третьей страны при условии, |
что он получил |
медаль Р(H3/А) |
= |
||
= Р(Н3)Р(А/Н3)/(Р(Н1)Р(А/H1) |
+ |
Р(Н2)Р(А/H2) |
+ |
Р(Н3)Р(А/H3)) |
= |
= (4/15 3/10)/(2/5 1/10+1/3 1/5+4/15 3/10) = 3/7. ♦ |
|
|
|
||