- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
18. Распределение Ферми-Дирака
Чтобы получить распределение Ферми-Дирака надо посчитать термодинамический потенциал :
- одночастичная большая статистическая сумма.
И с помощью посчитаем число состояний с учетом свойств Ферми-частиц.
Напомним, что:
здесь отсутствует взаимодействие между частицами, но имеет место обменное взаимодействие, т.е. за счёт спина (влияние сорта частиц на результат)
Для Ферми-частиц либо 1.
Рассчитаем для Ферми-газа:
где .
Мы получили распределение Ферми-Дирака. Это среднее число Ферми частиц в -том состоянии.
Придадим другой смысл. По определению:
Таким образом, это вероятность обнаружить одну Ферми частицу в -том состоянии:
19. Распределение Бозе-Эйнштейна
Используем формулы:
, но здесь
Записав через получим:
Условие сходимости ряда:
равенство нулю реализуется для систем с не сохраняющимся числом частиц, например, для фотонного газа или аннигилирующих частиц.
Получим:
С помощью найдём среднее число частиц в-том состоянии:
И мы получили распределение Бозе-Эйнштейна.
Теперь можно объединить все три распределения в одну формулу и записать:
Мы получили выражение для числа частиц в зависимости от сорта частиц, т.е. от спина частиц.
Очевидно, что если выполняется критерий больцмановского распределения:
то все распределения переходят в больцмановское распределение:
Ограничения на химический потенциал:
- для Бозе-Эйнштейна
и- для Больцмана
- произвольный для Ферми-Дирака
20. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при T=0
Будем пользоваться формулой:
Запишем функцию Ферми для электронного газа:
- он здесь как функция энергии
И рассматривается случай, когда очень близко к 0,:
, у нас
При малых показатель экспоненты отрицательный слева оти положительный справа от.
, при
Тогда
Поэтому:
Видим, что имеет вид ступеньки: слева все уровни заселены, а справа все уровни свободны.
Химический потенциал определяется числом частиц в системе.
Можно писать
где - число частиц, а- функция Ферми-Дирака, приона имеет вид ступеньки.
Запишем явный вид :
это выражение получается из выражения кинетической энергии электрона с импульсом :
,
Тогда всё сводится к интегрированию в - пространстве или в Фурье-пространстве. Размерность.
Пределы интегрирования в -пространстве:
Это шар с радиусом, который определяется . Радиус этого шара часто называют, т.е.-фермиевским.
определяется из, т.е. из числа частиц (электронов) в системе.
Полагаем объём и найдём полное число частиц в системе:
здесь из под интеграла убрали , т.к. в этом пределе интегрирования, а вне этого пределаи интеграл тоже равен нулю.
И тогда получаем:
Импульс Ферми:
Найдём :
т.е. химический потенциал или уровень Ферми определяется концентрацией частиц.