- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
Статистическая физика изучает системы с большим числом степеней свободы. Наличие большого число степеней свободы вносит некоторые особенности в описание таких систем. Например, в воздуха содержитсячастиц (число Лошмидта), но у каждой материальной точки (частицы) имеется 3 степени свободы, поэтому у этой системы огромное число степеней свободы.
В классической механике возможно описывать такие системы (через формализм Гамильтона) - динамических переменных, где- число степеней свободы. Описание системы сводится к решению уравнений:
Чтобы решить данную систему, необходимо задать начальных условий. Задаем начальные условия и решаем систему. Но здесь сложные технические трудности (долгий счёт на ЭВМ). Но имеются ещё и качественные особенности этих систем, которые не охватываются этими уравнениями, т.е. детерминированный подход здесь не используют.
Статистическая физика рассматривает переход от малого числа степеней свободы к большому. и- это динамические переменные. Фазовое пространство – этомерное пространство, декартовыми осями которого являются переменныеи. Тогда состояние системы (которое задаётся динамическими переменными) в фазовом пространстве задаётся фазовой точкой. Движение системы в реальном пространстве задаётся движением фазовой точки в фазовом пространстве, т.е. устанавливается соответствие между фазовым и реальным пространствами.
.
14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
Будем иметь дело со стационарными процессами.
Рассмотрим случайную величину , гдеиэто динамические переменные (ихштук). Но можно рассматривать и случайную величину, где- время (это одна переменная).
Усреднение по времени производим так:
(**)
Если - случайная величина, то её усреднение соответствует усреднению по фазовой траектории в фазовом пространстве.
Зависимость координат от времени в фазовом пространстве определяется фазовой траекторией.
Усреднение по времени имеет основой эксперимент, т.к. экспериментатор наблюдает случайную величину во времени.
Назовём временем релаксации. Если, то предел (**) хорошо согласуется с практикой. И тогда принимают.
Усреднение по времени, однако не удобно в теории, это усреднение по одной реализации.
Другое усреднение – статистическое. Оно основано на усреднении случайной величины как функциии.
Каждой точке фазового пространства ставится в соответствие величина ( как функцияи). Потом вводится вероятность попадания этой точки в элементарный объём фазового пространства:
здесь - элементарный объём фазового пространства.
Говорят, что - это функция распределения, определяющая плотность вероятности попадания точки в элементарный объём.
И вводится понятие статистического среднего, или среднего по ансамблю:
Имеем совокупность макроскопических идентичных систем, именуемых ансамблями. Можем говорить, что конкретная точка фазового пространства соответствует конкретному состоянию одной из систем этого ансамбля.
У систем может быть различное динамическое состояние, так как точки перемещаются в пространстве. Хотя число точек, поля и т.п. у систем будут одинаковыми. Это и будет ансамблем, если таких систем будет неограниченно много.
Часто, т.к. рассматриваются стационарные процессы, то фазовая траектория очень длинная (бесконечная), тогда говорят, что фазовую траекторию, при рассмотрении предела , можно разбить на достаточно длинные траектории, которым можно приписать системы из ансамбля.