- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
Будем использовать координатное представление (- представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводится к умножению на вектор, т. е.(это определение действия оператора).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
Оператор энергии или гамильтониан :
,
здесь - оператор кинетической энергии,- оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.
Тут присутствует и, ноиодновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо, либооказываются неизвестными.
9. Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции:
- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале.
Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.
На базе ограничения получим некоторые ограничения на.
Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.
Но - число вещественное. Отсюда можно представить
(19.1)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (19.1) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор- эрмитов:.
Свойства оператора :
В пределе перехода к классической механике: , то, гдеS – действие из классической механики. Причем, тогда рассматривая
, (19.2)
где - функция Гамильтона.
В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (19.2), то:.
Получили волновое уравнение:
- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.
10. Оператор Гамильтона различных систем
Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов
.
Поставим в соответствие конкретной системе операторы и:
В декартовой системе координат ,.
Здесь n– число точек в системе.
.
- функция от оператора координаты.
Мы рассматриваем - представление, здесь
Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).
Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле
Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.
отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.
.
Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.
.
Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индексa убирается.
Внутреннее взаимодействие неаддитивно.
Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:
Тогда , или в-представлении, то
,
тогда .
Если материальная точка во внешнем поле:
,,
Нестационарное поле .
Стационарное поле .
Центральное поле .
Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.
В случае классической механики: .
Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.
Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.
В квантовой механике в -представлении:
,
,
где