- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
Для свободной материальной точки .
, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.
Это трехмерная задача
Оператор Лапласа
Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде
,
где
Для имеем
.
Обозначим
.
Тогда
Решение этого уравнения
Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.
Мы выбираем движение частицы по направлению оси x.Тогда в силу сохранения импульса имеем.
Для трехмерного случая
Полная волновая функция
(26.1)
Рассмотрим теперь коммутатор
Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:
-интеграл движения.
Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.
Найдем собственные значения оператора импульса.
{используем, что, т. е.} =
=.
Тогда собственное значение оператора :
Это первое дебройлевское соотношение.
Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.
Используем, что
Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.
12. Собственный механический момент (спин)
РассмотримNa. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3pна 3s.
Первоначально ее длина была 5892
Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.
Возникла идея расщепления уровня 3pна два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.
Их длины: 5896 и 5890.
В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.
У электрона спиновое число s=.
Впоследствии Паули ввел спин в теорию.
Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .
Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу в целом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.
Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .
Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.
Можно рассматривать 2 момента:
. Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)
Частица сама движется по некоторой траектории.
У частицы есть еще квантовое число s, характеризующее собственный механический момент.
Вводят оператор собственного механического момента:
По аналогии
Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.
13. Спиновая переменная волновой функции
Рассмотрим одну частицу – система с 3 степенями свободы. Задача решается в- представлении.
,
но есть еще внутренний параметр – спин, тогда
.
Здесь - переменная(пространственная координата) и(спиновая переменная, а именно проекция спина на ось).
Здесь мы рассматриваем стационарную задачу, поэтому отtне зависит.
Скалярное произведение теперь запишем в виде
Вероятность обнаружения частицы в объемевблизи точки:
Если хотим найти реализацию конкретного значения :
Рассмотрим действие операторов в пространстве четырех переменных
Было известно
(40.1)
Обобщим (40.1) на случай четырех переменных:
(40.2)
Рассмотрим случай, когда действует только на спиновую переменную. В этом случае ядро будет следующим
и интеграл (40.2) переходит в интеграл:
Тогда
Переменная здесь не играет большой роли. В дальнейшем будем ее опускать, тогда
Функция имеет 2s+1 переменную.
Ядро в дискретных переменных вырождается в матрицу, т. е. это есть матрица размером.