- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
Мы говорили, что состояние квантово-механической системы описывается каноническим распределением:
, где- номер состояния
Потом учли, что энергетические уровни близко расположены друг к другу и ввели вместо дискретного спектра – непрерывный:
Ввели функцию
В нормировке функции перешли к интегралу:
- это число состояний в интервале энергий
Здесь - плотность состояний с энергиейна единичный интервал энергии.
Мы вместо часто пользуемся функцией:
, где
Функция - размерная. Величинаимеет размерность, тогда объёмчикимеет размерность. Значит, функцияимеет размерность
Поэтому удобно ввести величину:
,- число степеней свободы системы
Тогда:
(здесь уже безразмерные величины)
При имеем квазиклассическое приближение. В этом случаехарактеризует величину числа состояний в интервале.
Как же посчитать число состояний при переходе из фазового пространства в квазиклассическое представление?
В квантовой механике:
т.е. это точность, с которой определяется фазовая точка в фазовом пространстве.
Но фазовая точка определяет состояние, тогда это точность, с которой определяется состояние:
- это площадка, описывающая состояние.
-точнее этого мы состояние не определим.
Более точные измерения дают:
- такая площадка выделяется на фазовую точку (в случае, когда - одна степень свободы).
- это объём, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении, пристепенях свободы.
Тогда:
где - элементарный объём фазового пространства, а- объём на одно состояние, следовательно- число состояний.
Тогда в квазиклассическом приближении каноническое распределение выглядит так:
Множитель возникает по следующим причинам:
В квантовом случае - суммирование по числу состояний, и мы учитывали нетождественные перестановки. Но интегрирование по фазовому пространству не чувствительно к тождественным перестановкам – не выбрасываем их, поэтому возник множитель- учитывающий тождественные перестановки. Это имеет место при переходе в квазиклассическое приближение.
Замечание:
Принцип тождественности оказывает влияние только на расчёт статистического интеграла , при расчёте средних он не влияет.
Каноническое распределение для квантовых систем имеет вид:
- суммирование по квантовым состояниям
При переходе в квазиклассику, используя переход , получаем для вероятности состояния(здесь индекс не проставлен):
где и,
- это вероятность того, что фазовая точка с координатамипопадает в элементарный объёмв фазовом пространстве.
Мы писали:
под понимаем
Очевидно, что константу можно выкинуть, если рассчитывать средние через вероятность, при переходах:
т.к. константа не влияет на расчёт средних.
Часто рассматривают случай, когда квазиклассичность имеет место не по всем степеням свободы, а лишь по некоторым. Тогда суммируем по квантовым степеням свободы и интегрируем по квазиклассическим степеням свободы, т.е. имеем «гибрид»:
и в этом случае имеется и статистическая сумма и статистический интеграл.
17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- кинетическая энергия
Посмотрим .
Если рассмотрим , то получим:
Запишем выражение для :
Подставим в наше выражение, тогда получим:
Тогда мы можем записать:
,
Тогда:
Аналогичные результаты имеем для и, тогда:
Легко найти :
здесь - температура в энергетических единицах.
При расчёте в произвольной степени, имеет место другая схема расчёта, а именно:
, где
При нечётном надо учитывать симметричность, т.е.- получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты:
Тогда:
Сделаем замену переменных:
,,
Тогда получим:
Используем гамма функцию :
Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения: