- •1.Принцип неопределенности
- •2. Полный набор динамических переменных
- •3. Постулаты квантовой механики
- •4. Волновая функция и ее свойства
- •5. Принцип суперпозиции состояний
- •6. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •7. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного спектра)
- •8. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •9. Волновое уравнение
- •10. Оператор Гамильтона различных систем
- •11. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •12. Собственный механический момент (спин)
- •13. Спиновая переменная волновой функции
- •14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем
- •15. Каноническое распределение Гиббса
- •16. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •18. Распределение Ферми-Дирака
- •19. Распределение Бозе-Эйнштейна
15. Каноническое распределение Гиббса
Удобно записать теорему Лиувилля в виде:
- есть интеграл движения, точнееесть функция различных интегралов движения.
Поместим систему в жёсткий неподвижный ящик, тогда, т.к. не может двигаться так: , то нет сохранения импульса. И так как не может вращаться , то нет сохранения момента импульса. Тогда осталось сохранение энергии, т.е. можем записать:
Само распределение пишется:
Это каноническое распределение Гиббса; для квантового случая навешивается - номер квантового состояния.- константа, не зависящая от состояния, которая находится из условия.
Здесь - температура в энергетической шкале – это удобно в теории. Хотя на практикеизмеряют в градусах.
,
тогда .
Система 1 и термостат 2 образуют замкнутую систему. Здесь присутствует микроканоническое распределение.
На базе микроканонического распределения строят каноническое распределение.
Также можно получить каноническое распределение системы через принцип возрастания энтропии.
Рассмотрим систему 1, и считаем что состояние стационарное.
Найдём условие экстремума функции .
Мы используем - квантовые функции, т.к. это удобнее, чем использовать. При использованиивылезает константа из-за размерности.- это размерная величина, а логарифм надо брать от безразмерной величины, каковой и является.
Второе начало термодинамики:
т.е. если система выведена из состояния равновесия, то она идёт в развитии с увеличением , поэтому:
- имеем условие экстремума (1)
Отсюда имеем задачу поиска экстремума функции .
Вероятность удовлетворяет условию нормировки:
-это условие для отыскания экстремума(2)
Задача (1) и (2) является задачей поиска условного экстремума.
Однако с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа можно найти экстремум . Для этого вводится функция
, где
Найдём производную :
здесь остальные члены при дифференцировании обращаются в нуль.
Найдём вторые производные:
, при
- это выражение отрицательное
Стало быть, мы имеем максимум, так как вторая производная меньше нуля.
Тогда из условия находим само условие экстремума.
константа находится из условия нормировки:
, где- число всех состояний
Выражение (*) есть принцип равной вероятности для замкнутой системы; это есть микроканоническое распределение.
Теперь найдём экстремум энтропии при двух условиях, а именно при:
и
Переходим от условного экстремума энтропии к безусловному экстремуму функции :
Берём производные:
(3)
(3) - это условие экстремума , это одно и то же что условие экстремума дляпри условияхи.
Обозначим , тогда:
Отсюда для имеем:
(4)
Постоянная находится из условия нормировки:
(5)
Выражение (5) называется статистической суммой. А выражение (4) – это каноническое распределение Гиббса.
Это распределение относится к системе:
Где 1 находится в тепловом контакте с термостатом 2.
Микроканоническое распределение мы получали для замкнутых систем, где , т.е. условияивырождаются в одно. И для микроканонического распределения мы получили:
А каноническое распределение получили, когда система 1 была в тепловом контакте с термостатом 2:
Константа находится из условия, т.е.- здесьсреднее значение энергии, т.к. у нас случай термодинамики.
Найдём связь энтропии с энергией:
Тогда:
Используем условия и:
- это константа по энергии.
В термодинамике - это наблюдаемая величина, поэтому пишут эту величину просто, т.к.(- из эксперимента, а- из теории).
Тогда:
Отсюда имеем , но ведь, а значит:
И мы определили второй неопределённый множитель Лагранжа.
Каноническое распределение Гиббса принимает вид:
, где
Аналогично пишут для , но тогда вместо статистической суммыбудет интеграл.
Здесь - температура в энергетических единицах.