Вопрос 10. Постройте платежную матрицу следующей игры.

Игрок 2 прячет в одном из n мест предмет стоимостью с_j (j=1,2,…,n). Игрок 1 ищет этот предмет в одном из n мест, и если находит, то получает с_j, в противном случае получает 0. Пусть n=4 и вектор стоимости предметов с = (5, 7, 3, 12). Чему равна цена игры?

Варианты ответов:

1)1,75; 2)1,57; 3)1,32; 4)1,23; 5)1,12.

Задание 6.1. В задачах 6.1.1 – 6.1.10 найдите решение игр,

определяемых следующими платёжными матрицами:

6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5

6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10

Задание 6.2.

Задача 6.2.1. По требованию рабочих некоторой компании проф­союз ведет с ее руководством переговоры об организации горячих обедов за счет компании. Профсоюз, представляющий интересы рабочих, добивается того, чтобы обед был как можно более качест­венным и, следовательно, более дорогим. Руководство компании имеет противоположные интересы. В конце концов стороны до­говорились о следующем. Профсоюз выбирает одну из шести фирм (Ф₁,…,Ф₆), поставляющих горячее питание, а руководство компании — набор блюд из семи возможных вариантов (B₁,…,B₇). После подписания соглашения профсоюз формирует следующую платежную матрицу, элементы которой представляют стоимость набора блюд:

Вариант Фирма Ф	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7
Ф1	2,3	4,3	3,3	2,8	5,2	2,9	3,3
Ф2	4,2	2,2	2,7	4,2	2,2	3,7	2,7
Ф3	1,2	3,7	2,7	5,2	1,2	1,7	3,7
Ф4	4,2	1,7	2,2	1,4	2,9	3,2	1,2
Ф5	3,2	3,2	2,9	2,2	6,2	2,4	1,7
Ф6	1,7	4,2	2,5	3,2	4,7	2,7	2.0

Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Вопросы:

1. Чему равна цена игры?

2. Какая фирма наиболее предпочтительна для профсоюза?

3. Какой набор руководство компании считает наиболее «вы­ годным»?

4. Чему равна нижняя цена игры?

Задача 6.2.2

Робин часто ездит между двумя городами. При этом есть возможность вы­брать один из двух маршрутов: маршрут А представляет собой скоростное шоссе в четыре полосы, маршрут В — длинную обдуваемую ветром дорогу. Патрулирование дорог осуществляется ограниченным числом полицейских. Если все полицейские расположены на одном маршруте, Робин с ее страст­ным желанием ездить очень быстро, несомненно, получит штраф в 100 долл. за превышение скорости. Если полицейские патрулируют на двух маршрутах в соотношении 50 на 50, то имеется 50 %-ная вероятность, что Робин получит штраф в 100 долл. на маршруте А и 30 % -ная вероятность, что она по­лучит такой же штраф на маршруте В. Кроме того, маршрут Б длиннее, поэтому бензина расходуется на 15 долл. больше, чем на маршруте А. Опре­делите стратегию как для Робин, так и для полиции.

Задача 6.2.4. Имеются два предприятия, которые в дополнение к основной продукции могут выпускать побочную продукцию од­ного и того же назначения — пластмассовые игрушки. Известно, что они могут продавать ее в одном и том же городе. Игрушки немного отличаются по конструкции, оформлению, удобству и т.д. Первое предприятие может выпускать игрушки типа A₁, A₂,…, A_m ; второе — типа B_1, B₂,… B_n. Себестоимость и цена игрушек у всех предприятий одинаковы. Всего в течение года продается N игрушек. Если первое предприятие выпускает игрушки типа А_i, а второе — типа B_j , то первое предприятие продаст r_ijN игрушек, а второе — (N— r_ijN). Каждое предприятие стремится получить максимальный доход от продажи игрушек.

Пусть m = 4, n = 5, N= 300 000, цена одной иг­рушки составляет 20 руб., элементы матрицы {r_ij }_4;5 представле­ны в таблице:

Игрушки предприятия 2 Игрушки предприятия 1	B1	B2	B3	B4	B5
А1	0,2	0,7	0,4	0,8	0,3
А2	0,8	0,5	0,1	0,3	0,7
А3	0,4	0,6	0,9	0,5	0,6
А4	0,7	0,3	0,5	0,3	0,5

Сформулируйте игру двух лиц, считая игроком 1 первое пред­приятие. Определите выигрыш (доход от продажи) каждого пред­приятия.

Вопросы:

1. Каков общий средний доход первого предприятия?

2. Каков общий средний доход второго предприятия?

3. Какое изделие следует выпускать первому предприятию с наибольшей вероятностью?

4. Какое изделие следует выпускать "второму предприятию с наибольшей вероятностью?

5. Какова частота применения стратегии «Выпускать изделие B₂»?

Задача 6.2.5. Завод выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может:

А₁ – сразу отправить потребителю;

А₂ – отправить на склад для хранения;

А₃ – подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения.

Потребитель, в свою очередь, может приобрести продукцию:

В₁ – немедленно;

В₂ – в течение небольшого периода;

В₃ – после длительного периода времени.

В случае стратегий А₂ и А₃ завод несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для А₁. Однако при А₂ следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии В₂ или В₃. Матрица затрат представлена в таблице:

Bj Ai	В1	В2	B3
A1	2	5	8
A2	7	6	10
A3	12	10	8

Вопросы:

1. Каковы оптимальные средние затраты на хранение и обработку продукции?

2. Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А₁, А₂, А₃, руководствуясь минимальным критерием при заданной матрице затрат.

Задача 6.2.6. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров (П₁, П₂ П₃) на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей (К₁, К₂, К₃). Показатели дохода даны в таблице. Определить оптимальный план продажи.

Кj Пi	К1	К2	К3	К4
П1	8	4	9	2
П2	2	8	3	4
П3	1	2	3	8

Задачи 6.2.8. (Продавцы мороженого)

Два конкурирующих продавца мороженого независимо выбирают места для своих ларьков. Ларьки можно поставить в одном из трёх мест. Если первый ларёк получает а% прибыли, то второй – (100-а)%. Специально проведенное исследова­ние показало, что прибыль распределяется в зависимости от взаимного расположения ларьков. Стратегии первого игрока А₁, А₂, А₃ – ставить ларёк в месте 1,2,3; второго – В₁, В₂, В₃ соответственно. Матрица распределения прибыли первого игрока в зависимости от взаимного расположения ларьков имеет вид:

Стратегии игрока 2 Стратегии игрока 1	В1	В2	В3
А1	50%	40%	50%
А2	60%	50%	30%
А3	50%	70%	50%

Вопросы

1. В каких местах фирмам целесообразно поставить свои ларьки?

2. С какой частотой следует игроку 2 использовать стра­тегию В₂?

3. Какой процент рынка может обеспечить себе первый продавец?

Задача 6.2.9. (Государство и налогоплательщик)

Рассмотрим игру, в которой участвуют государство и налогоплательщик. Доход налогоплательщика равен 5 единицам. Государство выбирает уровень подоходного налога: высокий (В=40%) либо низкий (Н=20%). Налогоплательщик может честно заплатить налог, а может уклониться от его уплаты. Если он решает не платить налоги, то с вероятностью 50% налоговые органы обнаруживают это и заставляют его заплатить весь налог и дополнительно внести в казну штраф в размере 1 единица. Выигрыш государства – это ожидаемый объем налоговых поступлений, а выигрыш налогоплательщика – его ожидаемый доход (после уплаты всех налогов и штрафов). Постройте матрицу игры , найдите цену игры и оптимальные стратегии налогоплательщика и государства.

Задача 6.2.10. Две конкурирующие фирмы выбирают стратегии рекламной компании для продвижения своих товаров на рынок. У фирмы 1 возможный набор стратегий А ₁, А ₂, А ₃, у фирмы 2 – В₁, В₂, В₃. Отдача от рекламы фирмы 1 зависит от того, какой стратегии будет придерживаться фирма 2. Платёжная матрица эффективности рекламы имеет вид:

Стратегии игрока 2 Стратегии игрока 1	В1	В2	В3
А1	5	6	2
А2	3	5	4
А3	4	7	5

Определить оптимальную стратегию игрока 1 и цену игры.

Литература к главе 6:

1. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – (Серия «Высшее образование»).

2. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Русская деловая литература, 1999.

3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1976.