5.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями [2]

В практике встречаются задачи, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Задача характерна для ситуаций, когда множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. В таком случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью.

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (целью) ,и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии.

Процедура 2. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям, используя метод парного сравнения или метод сравнения альтернатив относительно стандартов. На основе экспертных оценок строится матрица А следующего вида:

В матрице А экспертные оценки представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев. При этом если альтернативаA_i не оценивается по критерию , то в матрицеА соответствующее значение . Векторы в матрице имеют различное число значенийи могут быть нормированными или нет в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

Процедура 3. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев относительно фокуса определяется вектор приоритетов критериев относительно цели .

Процедура 4. Формируются следующие диагональные матрицы S и L:

R_j – число альтернатив, находящихся под критерием E_j.

- суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.

С помощью матрицы S нормируются векторы приоритетов альтернатив, образующих матрицу А, путем умножения последней на S справа. Использование критерия L позволяет эксперту или ЛПР изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с соответствующими критериями пропорционально отношению . Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, образующих большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их относительно небольшим числом. Необходимость приведенной вычислительной процедуры обусловлена тем, что у критериев с высоким приоритетом в иерархии может находиться большое число альтернатив, а у критериев с низким приоритетом – значительно меньшее число альтернатив. В этой ситуации желательно повышение приоритетов альтернатив в большой группе, поскольку, если альтернатив много, каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом критерия.

Процедура 5. Определяется вектор приоритетов альтернатив относительно W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением матриц слева направо следующих матриц и векторов:

- случай ненормированных оценок в матрице А.

- случай нормированных оценок в матрице А.

Матрица В предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив.

x_i – значения ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения матриц .

r – число альтернатив.

Существуют иерархии, у которых альтернативы сгруппированы в подмножества ,,, а элементы каждого из таких подмножеств связаны, в свою очередь, с определенными группами критериев,,(рисунок 17).

K₀

K₁

K₂

K_n

...............

K₁₁ K₁₂ ... K_1m K₂₁ K₂₂ ... K_2r K_n1 K_n2 ... K_np

A₁ A₂ ... A_m A`<sub>1</sub> A`₂ ... A`_s A``<sub>1</sub> A``₂ ... A``_l

Рис. 17 Иерархия с несколькими ветвями

Дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.

Алгоритм синтеза для иерархии с несколькими ветвями.

Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериев K_ij.

Шаг 2. Строятся матрицы A_i, у которых наименованиями строк являются альтернативы, а наименованиями столбцов критерии K_ij. При этом если альтернатива не связана с критерием K_ij, то в матрице A_i на пересечении соответствующих строки и столбца ставится ноль.

Шаг 3. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериевK_i по выражениям:

......................................

Матрицы [S_i] – для нормирования матриц [A_i];

[L_i] – матрица изменения веса альтернатив пропорционально соотношению R/N, где R – число альтернатив под критерием, а N – суммарное число альтернатив.

X_i – вектор приоритетов критериев K_ij относительно критериев K_i;

B_i – диагональная матрица для получения нормированного вектора .

Шаг 4: Вычисляется вектор приоритетов критериев X₀ относительно фокуса иерархии K₀.

Шаг 5. Строится результирующая матрица A₀, у которой наименованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы, а наименованиями столбцов – критерии K_i. При этом результирующая матрица имеет следующий вид:

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов всех рассматриваемых альтернатив относительно фокуса иерархииK₀ на основании выражения:

.

Конец алгоритма.