shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

В последнем интеграле взят знак минус по той причине, что внешняя нормаль п направлена на плоскости Оху в сторону отрицательных 2.

Поскольку потенциал точечной массы на поверхности сферы

Если провести вспомогательную сферу Я = 1, то

6о = Я2(1(й,

где ш — часть поверхности вспомогательной сферы, соответствующая части сферы а (Я), лежащей ниже плоскости 2 = 0. Тогда будем иметь

При Я -*- ьо, со -*• 2л, а интеграл по ограниченной части плоскости 2 = 0 переходит в интеграл по всей плоскости 2 = 0.

Таким образом,

+ СО +оо

Если в точке С находится не точечная масса, а некоторое тело, то, сум-

мируя по всем элементам массы вт, тела и пользуясь свойством аддитивности потенциала, найдем

где под Т следует понимать потенциал притяжения, создаваемый аномальное массой Ма. Поскольку, как мы условились, под аномалией силы тяжести пони-

мается вертикальная составляющая притяжения, то, очевидно, что

АД Т

& = ~дГ*

т. е. под интегралом в (XIV.2) стоит аномалия силы тяжести, создаваемая искомым аномальным телом массы Ма. Определим координаты центра инерция

тела (%0, г]0, ?„). Рассмотрим интеграл

+СО + О Э

—СО - С О

Поскольку на плоскости Оху потенциал Т точечной массы и его производ-

ная по % симметричны относительно проекции точки С на плоскость, то

+со 4-<х>

390.

откуда

-Ьоэ +со 4-со -рсо

При практическом применении формул (Х1У.2), (Х1У.З), (XIV.4) и (Х1У.5) приходится ограничиваться интегрированием в некоторых конечных пределах. Входящие в формулу (Х1У.5) величины Т и д^Т/дт?, как правило, непосредственно не измеряют, а вычисляют через дТ/дг по интегральным формулам.

Применение столь сложных приемов определения при малой точности полученных результатов делается нецелесообразным. Для оценки глубины залегания аномального тела может быть применен метод, идея которого была высказана Ф. А. Слудским.

Так как направление вектора притяжения всегда проходит через притягивающее тело, то вполне возможна пространственная засечка положения тела. Правда, в общем случае направления векторов не пересекаются в одной точке, но этот метод дает возможность ориентировочно оценить положение притягивающего тела.

Для получения направления вектора притяжения следует вычислить проекции этого вектора на координатные оси, учитывая, что дТ/дг = Ад. дТ/дх и дТ/ду вычисляют по формулам для составляющих уклонений отвеса,

поскольку на основании (VI.7) имеет место зависимость

—= — ?

дх ~

дТ

1 Г — ™

391.

Для улучшения сходимости интегралов при малых г целесообразно Л.

уменьшить на постоянную величину Ад0, т. е. на значение аномалии в Т' : точке, для которой вычисляются дТ /дх и дТ /ду. Получаем известные формул-:

Б. В. Нумерова

дТ

дх

дТ_ ^ | —А§-0

ду - о о

Дальнейшее построение засечки можно осуществлять графически п.~: аналитически.

§ 88. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

Эти производные, как и производные более высоких порядков от потекциала силы тяжести, играют важную роль при интерпретации, посколыг они обладают гораздо большей чувствительностью по отношению к притягивающим массам, нежели сами аномалии силы тяжести. Это объясняется те.", что чем выше порядок производной, тем сильнее ее зависимость от расстояния Так, например, если потенциал притягивающей точки У = / (т/г) есть функция, убывающая с расстоянием как 1/г, то первая производная потенциала —

от двух круговых цилиндров бесконечного протяжения. В приведенном примег

кривая Д^ не показывает наличия двух источников гравитационных аномалп;: оно слабо проявляется и на поведении кривой д Ад/дг и только кривая д2

ясно обнаруживает наличие двух аномальных масс.

Потенциальная функция силы тяжести УУ имеет шесть вторых производ-

ных, которые принято обозначать как

Эти производные потенциала имеют размерность 1/с2. Единицей изме; ния является этвеш, составляющий 10"9 (1/с2).

392

Производные д2УУ!дх2, д21У/ду2 и д2Ц>г2/дх ду, как следует из формулы

(1У.15), определяют кривизну уровенной поверхности силы тяжести, производная д2УУ/дг2 является вертикальным градиентом силы тяжести а д2Ш/дх дг и д2Ш/ду дг — горизонтальными градиентами силы тяжести.

Величины д2№/дх ду, д2Ц//дх дг, д2\У/ду дг и д2Ш/ду2 — д2Ш/дх2 =

получают из наблюдений с вариометрами, однако для целей гравиметрической разведки необходимо получить аномальные значения этих производных.

Для этого из наблюденных значений производных требуется вычесть их нормальное значение, а также поправку за влияние рельефа.

Приведем нормальные значения вторых производных для уровенного эллипсоида

° х г - дх дг дх М

где М — радиус кривизны меридианного эллипса; а — большая полуось эллипсоида; е — его эксцентриситет. Подставив значения постоянных, получим

в этвешах

Vхг = 8,11 з т 2В, 11уг = 0, ЬТху = 0, ПА = 10,24 соз2 В.

393.

В табл. 43 приводятся нормальные значения производных.

Влияние рельефа учитывается при помощи формул, выведенных различными авторами (Этвеш, Швейдар, Никифоров, и др.), а также графическими методами.

няются редко и их все в большей степени вытесняют высокоточные гравиметры.

с началом в точке, где предполагается вычислить вторую вертикальную производную Тггг; построим сеть квадратов со стороной 21. Координаты вершин

и центров полученных квадратов указаны на рис. 78. Поскольку горизонтальные градиенты аномалий силы тяжести определяются как отношение разности аномалий силы тяжести в двух соседних точках к расстоянию между нимп, то для точек с координатами

394.

г - ^

( П )

(~2>г)

М до

№т )

Рис. 78

Имея значения вторых производных Тхг и Туг в выбранных точках, полу-

чим выражения для вторых производных аномалии силы тяжести в центре палетки (0, 0)

>

(Х1У.8)

Известно, что потенциал притяжения вне притягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа

ТXX Туу-С Т22 = 0.

Продифференцируем все члены последнего уравнения по 2. Выразим вторую вертикальную производную Тггг аномалии силы тяжести через производные Тххг и Тууг в точке (0, 0)

7 ^ ( 0 , 0) = -Гх х г (0, 0 ) - Г д а ( 0 , 0).

395.

Принимая во внимание соотношения (Х1У.6), (XIV.7) и (XIV-8), в нос.-

Таким образом, вторая вертикальная производная Тггг аномалии сг:

тяжести в некоторой точке (начале координат) с точностью до постоянна" множителя (1/2) равна учетверенному значению аномалии силы тяжести в с- точке минус аномалии силы тяжести в вершинах квадратов.

§ 89. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ

Как уже говорилось выше, нахождение путем вычислений значений ну

малий силы тяжести или значений вторых производных возмущающего пот» - циала от находящегося в недрах Земли тела любой формы и с любым распре.- лением плотности в нем для точек, расположенных на земной поверхност носит название прямой задачи гравиметрической разведки.

При этом поверхность Земли принимается за плоскость, а оси коордиг принято располагать следующим образом: оси х и у помещаются в плоско!:

горизонта, а ось г направляется вертикально вниз.

Прямая задача, в противоположность обратной, всегда имеет однозначн' решение, получение которого не связано с какими-либо принципиальны: трудностями. Однако математические вычисления, которые необходимо п; этом производить, отличаются большой сложностью. Сложность эта связг. с тем, что всякое аномальное тело является трехмерным и потому при оп; делении параметров гравитационного поля приходится выполнять трехкратнинтегрирование, что и приводит при сложной форме тела к чрезвычайно громо; ким выражениям. Вследствие этого в гравиметрической разведке нашли шп' кое применение так называемые двухмерные тела, определение гравиметриских характеристик которых значительно проще, чем трехмерных.

Под двухмерным телом понимается тело бесконечного простирания в однг направлении. Форма двухмерных тел целиком определяется формой их пои речного сечения. Двухмерное тело можно определить как цилиндрическ полученное при движении обра&ующей по контуру поперечного сечек: В том случае, если контур имеет форму многоугольника, мы получим прпг' тическое двухмерное тело. Горизонтальный однородный круглый цилинд притяжение которого равно притяжению эквивалентной массы, расположена по оси цилиндра в форме материальной линии, является простейшим случг - двухмерных цилиндрических тел.

Погрешности, вызванные заменой трехмерных тел двухмерными, обыч> невелики и для вытянутых по простиранию геологических тел, длина котор: в 5 раз и более превосходит их поперечник, можно считать, что гравитационгполе над серединой их такое же, как если бы эти тела простирались в бесконе- ность.

Только для очень ограниченного числа тел, имеющих простейшую форм~ удается получить удобные для практического использования формулы. Конечк подобные тела в природе встречаются очень редко. Обычно формулами для т-. простой геометрической формы пользуются лишь для первоначальной прпбгг зительной оценки основных параметров тела, после чего переходят к постеш ному подбору таких параметров, которые наилучшим образом соответствов;

396.

бы данным, полученным из наблюдений. Этот подбор ведется при помощи методов численного интегрирования.

Для расчета кривых аномалий силы тяжести, обусловленных простейшими по своей форме телами, применяются формулы:

Чтобы решить прямую задачу для тел, имеющих простую геометрическую форму, воспользуемся формулами для потенциала притяжения точки и его

где г определяется по формуле (1.5). Первые производные потенциала в соот-

3 9 7

Далее

( X I V , -

Поскольку шар притягивает по тому же закону, что и материальная точка, воспользуемся только что выведенными формулами для получения соответствующих величин для однородного шара, положив Лт = 4/3 (яАбД3) = М

и понимая, как и прежде, под Дб аномальную плотность и под М а аномальнук массу.

Будем считать, что центр шара находится на оси 2 на некоторой глубине Вычислим возмущающий потенциал, аномалию силы тяжести и вторые производные возмущающего потенциала для точки М, расположенной на осп +

Полагая в формулах (ХГУ.10), (ХГУ.11), (Х1У.12), (Х1У.13), (ХГУ.14) и (XIV.!.:

398.

399 >