- •Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл
- •I. Метод замены переменной
- •II. Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Основные понятия о дифференциальных уравнениях
- •Оду 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные ду 1 порядка
- •Линейные оду 1 порядка
- •Линейные ду n-го порядка
- •Понятие числового ряда и его суммы
- •Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
- •Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
- •Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Линейные оду 1 порядка
О: Линейным ОДУ 1 порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:
y+P(x)y=Q(x),
где p(x) и q(x) - заданные непрерывные функции от х или постоянные
Решение такого уравнения находится по формуле:
Линейные ду n-го порядка
О: ОДУ n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных:
a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an-1(x)y+an(x)y=b(x),
где ai(x), i=0,n, b(x) непрерывны на некотором интервале (,). Если b(x)0, то называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным уравнением
Общее решение ЛОДУ n-го порядка имеет вид
y=c1y1+ c2y2+...+ cnyn,
где ci, - произвольные постоянные, а y1(х),y2(х),...yn(х) образуют фундаментальную систему решений.
Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y(n)+a1y(n-1)+...+an-1y+any=0
где ai – действительные постоянные.
Уравнение:
λn+a1λn-1+...+an-1λ+an=0
полученное заменой производных y(i) искомой функции степенями λi называется характеристическим уравнением.
Каждому действительному корню λ кратности r соответствуют r линейно независимых решений исходного уравнения.
, ,…,
Каждой паре комплексных корней кратностиs соответствуют s пар линейно независимых решений.
, ,…,
, ,…,
Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами является линейной комбинацией всех линейно независимых решений.
Общий вид линейного не однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y(n)+a1y(n-1)+...+an-1y+any= f(x)
где ai – действительные постоянные.
Его решение может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами может быть найдено подбором исходя из вида правой части.
Отметим, что мы рассмотрели лишь простейшие методы решения ОДУ.
В тех случаях, когда необходимо решать нелинейные ОДУ, как правило, используют приближенные численные методы, такие как методы Эйлера, Адамса, Рунге-Кутта и т.п.
Понятие числового ряда и его суммы
О: Числовым рядом называется выражение, полученное последовательным сложением членов числовой последовательности ,..., т.е.
,... . n-ой частичной суммой ряда называется . Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел, являющийся суммой ряда; расходящимся, если limSn= или не существует.
Числа ,...- члены ряда, un-n-й или общий член. Коротко ряд записывают
Ряд называется гармоническим рядом и расходится.
Основные свойства сходящихся числовых рядов
10. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.
20. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд, c=const, сходится и имеет сумму cS.
30. Если ряды ,сходятся и имеют суммы S и, соответственно, то ряд сходится и имеет сумму S+.
Необходимый признак сходимости числового ряда
Т: Если ряд сходится , то
Следствие: Если , то рядрасходится.
Необходимый признак не является достаточным. Например, для гармонического ряда , а ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Т.: (Признак сравнения 1). Пусть для рядов выполняется неравенство:n=1,2,... Тогда :
1.-сходится- сходится;
2.-расходится- расходится
Т.: (Признак сравнения 2). Если для с неотрицательными членами, то оба ряда или сходятся, или расходятся.
Признак Даламбера
Т
<1
ч.р. сходится
>1
ч.р. расходится
=1 сомнительный
случай
Интегральный признак Коши
Т
сходится ч.р. сходится
расходится ч.р. расходится
Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
О: Знакочередующимся числовым рядом называется ряд
Т: (Признак Лейбница). Если для ряда выполняются условия:
1. u1>u2>...>un>...,
2. , то этот ряд сходится, причем его сумма S>0 и S<u1
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости
О: Знакопеременным числовым рядом называется ряд , который содержит как положительные, так и отрицательные члены
Знакочередующийся ч.р. является частным случаем знакопеременного ч.р.
Т: (Признак абсолютной сходимости). Если для знакопеременного ч.р. сходится, составленный из абсолютных величин его членов, то рядсходится
О: Знакопеременный ч.р. называется абсолютно сходящимся, если сходится ряди условно сходящимся, если он сходится, хотя рядрасходится
Понятие функционального (ф.р.) и степенного рядов. Теорема Абеля
О: Функциональным рядом называется ряд u1(x) + u2(x) + ...+ un(x)+..., члены которого является функциями от х
При фиксированном х=х0 функциональный ряд становится числовым. Областью сходимости ф.р. называется множество Х всех значений х, для которых он сходится.
В области сходимости Х ф.р. его сумма S(х) является функцией от х.
Важным частным случаем ф.р. является с.р.
О: Степенным рядом называется ф.р. вида
=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+..., x0, a0, a1 , ..., an, ...R
При х0=0 получаем ряд по степеням х:
=a0+a1x+a2x2+...+ anxn+...
Для того чтобы найти область сходимости с.р., докажем теорему Абеля.
Т: (Абеля) Если степенной ряд сходится при х=х1 0, то он абсолютно сходится х: |x|<|x1|. Если ряд расходится в т. х=х1 , то он расходится х: |x|>|x1|