Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для f(x),если F(x)=f(x) хХ.

Любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную F(x).

Функция f(x) может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на константу.

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Функцию f(x) называют подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, операцию нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) - интегрированием f(x).

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

Фактически операция взятия первообразной (неопределенного интеграла) является обратной к операции взятия производной, т.е. при вычислении неопределенного интеграла фактически осуществляется подбор, производная от какой функции F(x) будет равнаf(x).

Для систематизации производимого подбора удобно использовать так называемую таблицу неопределенных интегралов, которая является, по большому счету, зеркальным отражением таблицы производных.

		частный случай
частный случай		частный случай

Все формулы таблицы могут быть проверены нахождением производной от правой части - она равна подинтегральной функции.

Помимо вполне очевидного метода представления подинтегральной функции в виде линейной комбинации простейших функций производные от которых можно вычислить по таблице существуют два основных метода вычисления неопределенного интеграла.

I. Метод замены переменной

Данный метод можно условно подразделить на две интерпретации.

а) Занесение под знак дифференциала.

На основании формулы и ее частных случаев;можно добиваться того чтобы после формальной замены переменной исходный интеграл принимал вид одного из интегралов представленных в таблице.

б) Непосредственно сам метод замены переменных зачастую заключается в том, чтобы самую «неудачную» часть подинтегральной функции обозначить за новую переменную, при этом необходимо помнить что кроме того что изменится сама подинтегральная функция изменится и дифференциал , согласно формуле.

II. Метод интегрирования по частям

Данный метод основан на применении формулы: где функцииU(x) и V(x) имеют непрерывные производные. Данную формулу целесообразно применять в тех случаях когда получающийся интеграл вычисляется легче чем исходный. При использовании данной формулы человеку вычисляющему исходный интеграл необходимо самому выбрать какую часть исходной подинтегральной функции он решит обозначить за, а какую часть за, после чего получив значения соответственноистановиться возможным непосредственно применение самой формулы.

Фактически все возможности взятия неопределенного интеграла исчерпываются вышеперечисленными методами, однако для некоторых основных классов элементарных функций существуют свои (непосредственно под них разработанные методики взятия интеграла). Рассмотрим интегрирование некоторых основных классов элементарных функций.