- •Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл
- •I. Метод замены переменной
- •II. Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Основные понятия о дифференциальных уравнениях
- •Оду 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные ду 1 порядка
- •Линейные оду 1 порядка
- •Линейные ду n-го порядка
- •Понятие числового ряда и его суммы
- •Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
- •Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
- •Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется функция где Bj, Ai -заданные коэффициенты, ,. Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если mn.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Действительно, пусть R(x)=- неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим, где Ll(x) и остаток rk(x) - многочлены, а - правильная рациональная дробь.
Любой многочлен может быть представлен в виде:
Где - корень кратностиk1; - корень кратностиk2; - корень кратностиkl.
В таком случае правильную дробь можно представить в виде:
Все дроби представленные в разложении исходной дробно-рациональной функции называются простейшими, числа A, B, C с различными индексами называются неопределенными коэффициентами и однозначно определяются из решения системы линейных уравнений составляемой путем приведения всех простейших дробей к одному знаменателю из соображения однозначности представления многочлена по степеням своей переменной.
В результате представленного разложения становиться возможным вместо взятия интеграла от исходной дробно-рациональной функции (сообразуясь со свойствами неопределенного интеграла) брать интегралы от полученных простейших дробей и в качестве ответа к исходному примеру записывать их линейную комбинацию.
Отметим тот факт, что получившиеся при разложении простейшие дроби бывают четырех видов: ;;;.
Приведем вычисление интегралов от этих простейших дробей.
1. .
2. .
3.
4.
где
Использовав для данного интеграла метод интегрирования по частям можно получить рекуррентную формулу: по которой, действуя последовательно, можно спуститься до.
Таким образом, обобщая все вышесказанное можно сформулировать алгоритм пригодный для интегрирования дробно-рациональных функций.
1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции.
2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей.
3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.
4. Записываем ответ как сумму от получившихся в п.3. выражений.
Интегрирование тригонометрических функций
Существует несколько подходов к вычислению интегралов от функций содержащих тригонометрические выражения.
1. Интегралы вида где m и n целые числа и одно из них не четное вычисляются следующим образом:
От простейшей тригонометрической функции иликоторая представлена в нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала, оставшаяся простейшая тригонометрическая функция при помощи тождествапреобразуется в дополнительную к себе функцию, данное преобразование позволяет передти к табличному интегралу.
2. Интегралы вида где m и n целые четные числа можно вычислять посредством применения формул понижения порядка и перехода к двойному аргументу:
; ;
3. Для интегрирования произведений простейших тригонометрических функций с различными аргументами могут применяться формулы:
;
;
4. В общем случае интегралы вида при помощи замены, при которой,,преобразуются в интегралы отдробно-рациональных функций, вычисление которых было рассмотрено выше (обратная подстановка в этом случае ).