- •Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл
- •I. Метод замены переменной
- •II. Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Основные понятия о дифференциальных уравнениях
- •Оду 1 порядка. Задача Коши. Общее решение.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные ду 1 порядка
- •Линейные оду 1 порядка
- •Линейные ду n-го порядка
- •Понятие числового ряда и его суммы
- •Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
- •Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
- •Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Тройной интеграл
Пусть теперь в трехмерной области задана произвольная непрерывная функция . Разобьем на n частей, аналогично случаям рассмотренным выше и составим сумму,: которая называется трехмерной интегральной суммой дляв.
Тройным интегралом от функции по области называется предел интегральных суммы при условии, что диаметр разбиения (т.е. длина наибольшей хорды) стремиться к нулю (0), если предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения на части i, , и от выбора в них точек Мi. Обозначение где dv - элемент объема; - область интегрирования; - подинтегральная функция;- подинтегральное выражение.
Функция, для которой тройной интеграл существует, называется интегрируемой.
Аналогично двойному интегралу в декартовой системе координат применяют формулу
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Если исходная область определяется неравенствами: ,,то справедлива формула:, т.е. внешний интеграл изменяется от точки до точки, средний – от функции до функции, внутренний – от поверхности до поверхности.
Свойства тройного интеграла полностью повторяют свойства двойного интеграла.
Что же касается перехода к новым координатам при вычислении тройного интеграла, то по аналогии: то, где.
На практике наиболее распространены переходы к цилиндрическим и сферическим координатам.
Цилиндрические координаты: , якобиан равен .
Сферические координаты: якобиан равенr2sin
Если говорить о геометрических приложениях тройного интеграла то:
Объем тела ограниченного пространственной областью может быть определен по формуле: .
Масса тела в случае если его плотность подчинена закону вычисляется по формуле.
Комплексные числа и действия над ними
Вводится новое “понятие” мнимой единицы (). С введением этого “числа” появляется целый класс чисел , . Число называется комплексным числом. , - вещественная и мнимая его части.
Над комплексными числами можно производить следующие операции:
Сложение и вычитание:
Умножение:
Деление:
Число называется комплексно-сопряженным к числуz:
если ,то .
Если вещественные числа можно отображать на прямой, то для комплексных чисел необходима плоскость.
Комплексное число (это видно из его изображения на плоскости) можно задавать не только в декартовой (через и ), но и в полярной (через и ) системе координат:
- модуль комплексного числа ,
- аргумент комплексного числа .
Значение выбирается таким образом, чтобы угол был в той четверти, где находится наше комплексное число.
Выбранное значение угла будем подчеркивать.
y
r
x
Комплексное число представимо в одной из трех форм записи:
- алгебраическая форма записи,
- тригонометрическая форма записи,
- показательная форма записи.
Пользоваться тригонометрической и показательной формой удобно в тех случаях, когда нам необходимо разделить или умножить между собой два комплексных числа.
В тригонометрической форме:
если и, то
В показательной форме: и, то
При работе с комплексными числами часто используются формулы:
Формулы Эйлера: ; .
Формула Муавра:
Корень из комплексного числа функция многозначная, т. е. одному значению соответствуетnзначений функции:
k изменяется от нуля доn-1.
Область - это окружность с центром в точке и радиусомR.