Интегрирование иррациональных функций

Наибольшую сложность, как правило, представляет интегрирование функций содержащих иррациональную часть. Рассмотрим несколько классов иррациональных функций и приведем стандартные замены применяемые при интегрировании того или иного класса.

1. замена

2. замена

3. замена

Предложенные замены позволяют избавиться от иррациональности в подинтегральном выражении, и вместо вычисления интеграла от иррациональной функции предлагается вычислять интеграл от тригонометрической. Вычисление интеграла от тригонометрической функции рассмотрено ранее.

Интегралы вида при помощи выделения полного квадрата и заменыприводятся к одному из трех рассмотренных типов.

Определенный интеграл

Пусть функция определенна на отрезке [a,b] тогда разбив отрезок на n частей точками a=x₀<x₁<x₂…<x_n=b можно определить так называемую интегральную сумму, где точки_i[x_i-1,x_i] , а x_i=x_i-x_i-1, .

Геометрически алгебраическая сумма площадей прямоугольников имеющих основанияx_i и высоты смысл

Определенным интегралом от функции f(x) на [a,b] называется предел ее интегральных сумм при maxx_i0, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения [a,b] на отрезки.

Обозначение:

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) - подинтегральной функцией.

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

a) .

b) Если k=const, то .

c)

d)

e) , a<c<b.

f) f(x)(x) x[a,b] .

g) f(x) непрерывна на [a,b]  [a,b]: =f()(b-a)

h) f(x) непрерывна на [a,b] причем ,

При вычислении определенного интеграла необходимо сначала вычислить первообразную, после чего воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Отдельно остановимся на геометрических приложениях определенного интеграла.

1. Площади криволинейной трапеции, боковыми сторонами которой служат прямые x=a и x=b, нижним основанием ось Ox, а верхним основанием график функции вычисляется по формуле.

2. Если гладкая кривая задана уравнением то длина ее дуги на отрезке [a,b] может быть вычислена по формуле: , если кривая заданна параметрически то .

3. Площадь поверхности образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой заданной уравнением вычисляется по формуле: , если кривая заданна параметрически то .

4. Объем тела вращения дуги вокруг оси Ox определяется как: .

Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл

Пусть в области D задана функция . Разобьем область D на частиD_i с площадями S_i, , выберем М_i(_i,_i) D_i и составим интегральную сумму

Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральных суммы при условии, что диаметр разбиения (т.е. длина наибольшей хорды) стремиться к нулю (0), если предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на части D_i, , и от выбора в них точек М_i. Обозначение где ds - элемент площади; D - область интегрирования;- подинтегральная функция;- подинтегральное выражение.

Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой.

Так как значение двойного интеграла от , непрерывной вD, не зависит от вида элементарных частей, то разобьем D на малые прямоугольники со сторонами x_i и y_i прямыми, параллельными осям координат. При этом . Выбирая затем в каждом прямоугольнике т. М_i(_i,_i), можно записать: где ds=dxdy - элемент площади.

Так как определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, то двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.

При вычислении двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

Если граница области D может быть задана уравнениями: ,(), x=a, x=b (a<b), то двойной интеграл в этом случае вычисляется по первой части формулы, причем сначала вычисляется внутренний интеграл в котором переменная х считается постоянной, применяя формулу Ньютона-Лейбница получаем функцию зависящую только отx, после чего вычисляется внешний интеграл.

Если граница области D может быть задана уравнениями: ,(),y=c, y=d (c<d), то двойной интеграл в этом случае вычисляется по второй части формулы, причем сначала вычисляется внутренний интегралв котором переменнаяy считается постоянной, применяя формулу Ньютона-Лейбница получаем функцию зависящую только от y, после чего вычисляется внешний интеграл.

На практике, для определения пределов интегрирования, удобно первым шагом проецировать область на одну из осей, тем самым получая в качестве границ получившегося отрезка пределы внешнего интеграла, после чего двигаясь внутри области по прямым параллельным другой координате определять как граничные функции верхний и нижний пределы внутреннего интеграла. Таким образом внешний интеграл изменяется от точки до точки, внутренний – от функции до функции.

В некоторых случаях для расчетов бывает удобно перейти к новым переменным. Это целесообразно делать в тех случаях, когда уравнения границ области достаточно сложны.

Если в двойном интеграле произвести замену переменных: то где- Якобиан.

На практике наиболее распространен переход к полярным координатам: , якобиан при этом переходе не сложно вычислить .

Если говорить о геометрических приложениях двойного интеграла то:

1. Площадь плоской фигуры ограниченной областью D, определяется по формуле: .

2. Объем цилиндрического тела ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью, с боков цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости областьD вычисляется по формуле:

3. Если гладкая однозначная поверхность задана уравнением то площадь поверхности выражается формулой, гдеD–проекция поверхности на Oxy.