Скалярное произведение

Проекция вектора на произвольную осьопределяется формулой, где- единичный вектор на осие.

Тогда .

10.13. Векторы иобразуют угол. Пусть,.

Найти:

1); 2); 3); 4); 5); 6)

10.14. Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.

10.15. Установить, при каком взаимном расположении векторов ,,справедливо равенство:.

10.16. Даны единичные векторы ,,, такие что:

а) ++=0. Найти.

б) +-=0. Найти.

10.17. Дано ,. При какомвекторы и взаимно перпендикулярны?

10.18. Какому условию должны удовлетворить векторы и, чтобы вектор был перпендикулярен ?

10.19. Доказать, что:

а) вектор перпендикулярен к вектору;

б) вектор перпендикулярен к вектору.

10.20. Даны векторы =(4,2,-1) и=(1,0,-1) .

Найти:

1); 2); 3); 4);

5) ; 6); 7)

10.21. При каком векторы и взаимно перпендикулярны?

10.22. Найти вектор , коллинеарный вектору=(2,1,-1) и удовлетворяющий условию.

10.23. Найти вектор х, если он перпендикулярен векторам=(2,3,-1) и=(1,-2,3) и .

10.24. Даны =(3,-1,5) и=(1,2,-3). Найти, если он перпендикулярен осиOZ и,.

10.25. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

11. Векторное и смешанное произведение векторов векторное произведение векторов

11.1. Даны: иНайти

11.2. Даны: иНайти

11.3. Векторы ивзаимно перпендикулярны,Найти:

1.

2.

11.4. Векторы иобразуют уголНайти:

1. 2.3.

11.5. Какому условию должны удовлетворять векторы и, чтобы+и-были коллинеарны?

11.6. Доказать, что +=.

11.7. Доказать, что если ++то==

11.8. Даны векторы иНайти:

1. ; 2.; 3. (); 4. ()().

11.9. Даны точки А(2,-1,2), В(1,2,-1), С(3,2,1). Найти:

1. 2.3.

11.10. Даны точки А(1,2,0), В(3,0,-3), С(5,2,6). Найти площадь треугольника АВС.

11.11. Дан параллелограмм с вершинами А(1,-1,2), В(5,-6,2), С(1,3,-1), D(x,y,z). Найти площадь параллелограмма.

11.12. Вектор ,, векторобразует с осью ОУ тупой угол,. Найти.

11.13. Найти вектор , зная что он=(2,-3,1) и=(0,1,3) и удовлетворяет условию+

11.14. Даны =(2,-3,1) и=(-3,1,2),=(5,2,6). Найти ()и).

Смешанное произведение векторов

11.15. Определить, какой является тройка векторов (правой или левой):

1. ; 2.; 3.,

4. ,,5.,,; 6.,,

11.16. Векторы ,и, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны, причем

,найти ()

11.17. Доказать тождества:

1. (()())=2();

2. (), гдеи- любые числа.

11.18. Доказать, что векторы ,и, удовлетворяющие условию++=0, компланарны.

11.19. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов ,и, является их линейная зависимость.

11.20. Даны =(1,-1,3),=(-2,2,1) и=(3,-2,5). Найти.

11.21. Компланарны ли векторы:

1. =(2,3,-1),=(1,-1,3),=(1,9,-11);

2. =(3,-2,1),=(2,1,2),=(3,-1,-2);

3. =(2,-1,2),=(1,2,-3),=(3,-4,7).

11.22. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости А(1,2,-1), В (0,1,5), С(-1,2,1), D(2,1,3).

11.23. Даны вершины тетраэдра: А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8). Найти длину его высоты, опущенной изD.