Неотрицательные матрицы в экономике и линейные экономические модели
1.1. Собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перона. Число и вектор Фробениуса.
Балансовые модели
Модель Леонтьева.
Продуктивные модели Леонтьева. Определение продуктивной матрицы. Два критерия продуктивности матрицы. Запас продуктивности матрицы.
Модель международной торговли.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Векторы. Линейные операции над векторами.
Декартова прямоугольная система координат. Деление отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Направляющие косинусы.
Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл векторного произведения.
Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
Необходимые и достаточные условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Уравнения плоскости. Уравнения прямой в пространстве.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
2.1. Инварианты.
2.2. Классификация по инвариантам и собственным числам.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Темы практических занятий.
Комплексные числа.
Комбинаторика. Бином Ньютона
Многочлены.
Индивидуальное задание.
Матрицы, определители
Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов.
Системы линейных уравнений.
Собственные числа и собственные векторы. Линейные пространства.
Контрольная работа.
Базис. Матрица перехода. Процесс ортогонализации.
Матрицы операторов. Квадратичные формы. Приведение к диагональному виду. Критерий Сильвестра.
Число и вектор Фробениуса. Продуктивность матриц.
Векторы. Скалярное произведение.
Векторное и смешанное произведение векторов.
Уравнения прямой на плоскости.
Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.
Кривые второго порядка.
Контрольная работа.
Формы контроля
В семестре проводятся две контрольные работы и индивидуальное задание, которые оцениваются в баллах. В конце семестра проводится экзамен. Баллы, полученные на экзамене и в семестре суммируются, и по их результатам выставляется оценка.
Вопросы к экзамену
Комплексные числа. Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
Формулы Муавра. Доказательство.
Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные и квадратичные множители.
Матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование, обращение).
Определители 3-го порядка. Десять свойств определителей (доказать хотя бы одно).
Существование и единственность обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
Линейная зависимость и независимость векторов. Примеры зависимых и независимых систем векторов.
Теорема Кронекера-Капелли.
Однородные системы. Фундаментальная система решений.
Метод Крамера.
Метод Гаусса.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Линейные операторы. Определение. Примеры.
Самосопряженные и сопряженные операторы.
Линейное пространство. Определение. Примеры.
Базис. Размерность пространства. Разложение вектора по базису.
Переход к новому базису. Матрица перехода. Связь между координатами вектора в старом и новом базисе.
Число и вектор Фробениуса.
Продуктивные матрицы. Два критерия продуктивности.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Прямая на плоскости (вывод уравнения). Различные виды уравнения прямой на плоскости.
Уравнение прямой в пространстве (вывод). Различные виды уравнения прямой в
Плоскость в пространстве (вывод уравнения). Различные виды уравнений плоскости.
Расстояние от точки до прямой в пространстве (вывод формулы).
Расстояние от точки до плоскости в пространстве (вывод формулы).
Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Построение кривых по каноническому уравнению.
Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий по инвариантам и собственным числам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Солодовников А.С. и др. Математика в экономике. Ч.1. М.: Статистика и финансы, 2003.
Гусак А.А. Высшая математика. Т.1. Минск: ТетраСистемс, 2003.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1980.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Оникс, 2003.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2004.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1978.