7. Базис. Матрицы перехода. Процесс ортогонализации.
7.1. Найти базис системы векторов:
1. векторов, лежащих на одной прямой;
2. на плоскости;
3. матриц второго порядка
;
4. многочленов степени
7.2. Найти какой-нибудь базис системы векторов:
1.
2.
7.3. Найти координаты вектора хв базисе:
1.
2.
7.4. Найти координаты многочлена
1. в базисе:
2. в базисе:
3. в базисе:
7.5. Найти базис пространства, заданного системой линейных уравнений:
7.6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и найти матрицу перехода от старого базиса к новому.
1.
2.
7.7. Найти координаты вектора
в базисе
,
если он задан в базисе
:
1.
2.
=(6,-1,3),
=(1,2,4).
Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов:
1.
2.
Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:
1.
2.
Применяя процесс ортогонализации построить ортонормированный базис подпространства
1.
2.
8. Матрицы операторов. Квадратичные формы. Матрицы операторов
8.1. Пусть оператор Аповорачивает
все векторы на плоскостиХОУ на
угол
против часовой стрелки. Найти матрицу
оператораА.
8.2. В пространстве
многочленов отt
степени меньшей или равной 5 положим
(оператор дифференцирования). Найти
матрицу оператора в базисе:
а)
,
,
,
,
;
б)
,
,
,
,
.
8.3. Доказать линейность и найти матрицу
оператора (в базисе
):
а) проектирования на ось ОХ;
б) проектирования на плоскость z=0;
в) проектирования на ось ОУ;
г) проектирования на плоскость у=0;
д) проектирования на плоскость 0yz;
е) поворота относительно оси 0zна угол
в положительном направлении.
Квадратичные формы
8.5. Привести к каноническому виду квадратичную форму. Найти матрицу перехода. Выяснить знакоопределенность формы (положительно определенная, отрицательно определенная, знакопеременная)
1)
;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9. Число и вектор фробениуса. Продуктивность матриц.
9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:
а)
б)
в)
г)
.
9.2. Найти число Фробениуса матриц:
а)
б)
в)
г)
.
9.3. Продуктивна ли матрица:
а)
б)
в)
г)
д)
.
9.4. При каких
матрица:
а)
б)
будет продуктивной?
9.5. Найти запас продуктивности матрицы:
а)
б)
.
10. Векторы. Скалярное произведение. Векторы
10.1. Вычислить направляющие косинусы
вектора
и
орт вектора
(
):
а)
;
б)
;
в)
.
10.2. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
10.3. Определить координаты точки М,
если ее радиус вектор составляет с
координатными осями одинаковые углы,
а его модуль равен
.
10.4. По данным векторам
и
построить
а)
+
,
б)
-
,
в)
-
,
г) -
-
.
10.5. Даны:
,
,
и
.
Найти
.
10.6. Даны:
,
,
и
.
Найти
.
10.7. Проверить коллинеарность векторов
и
.
Установить во сколько раз один длиннее
другого и как они направлены (в одну или
противоположные стороны).
а)
б)
10.8. Проверить, что четыре точки А,В,С,Дслужат вершинами трапеции:
а) А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3), Д(3,-5,3).
б) А(-1,5,-10), В(5,-7,8), С(2,2,-7), Д(5,-4,2).
10.9. Даны векторы
(2,-3,6)
и
(-1,2,-2).
Определить координаты вектора
,
направленного на биссектрисе угла между
векторами
и
,
при условии, что
.
10.10. Векторы
(2,6,-4)
и
(4,2,-2)
совпадают со сторонами треугольникаАВС. Определить координаты векторов
,
и
,
совпадающих с медианами треугольника.
10.11. Доказать, что если
и
неколлинеарные векторы, то любой вектор
,
лежащий в их плоскости, может быть
представлен в виде:
и это представление однозначно.
10.12. Даны четыре вектора:
,
,
,
.
Найти координаты каждого вектора в
базисе из остальных векторов.