Строительная механика учебник

нии. Для сечения x (рис. 4.5,в) получим:

У

Qx = RA cOSPx - F1cOSPx - F2cOSPx - H sin Px =

= XRA - F1F2)cOSPx - H sln Px .

Т

Выражение в скобках (RA - F 1- F2) представляет собойНбалочную

поперечную силу. Обозначив ее через Q° , получим следующую фор­

Б

мулу для определения поперечной силы в произвольном сечении арки:

Qx = Qx cos Px - Hйsin Px.

(4 8)

Для арок, как и для других систем,исоблюдается известная диф­

ференциальная зависим

Q =dM / ds , использующаяся при по­

р

строении эпюр Q и M. Так, при принятых правилах знаков для эпюр

M и Q возрастание

изгибающих моментов с увеличением s

о

(или x) будет соотве с вова ь положительной поперечной силе, а ее

убывание - отр цательной.стьСечения, в которых поперечная сила

4.3. Линии влияния усилий в трехшарнирных арках

Для определения вертикальных опорных реакций от действия

вертикальной подвижной единичной силы

(рис. 4.8,а) составим

уравнения равновесия в виде сумм моментов сил, действующих на

арку, относительно левой и правой опор:

У

^ Ы

А = 0;

1 xp - R Bl = 0;

Z

M B = 0 ;

- 1 (l - xP) + RAl = °-

Из этих уравнений найдем выражения для определения Топорных

реакций:

Н

RB = ^ ;

RA = 1-Cp- .

l

А

l

Б

Полученные зависимости полностью совпадают с соответст­

вующими зависимостями для простой двухопорной балки. Таким

образом, линии влияния ве тикальныхйопорных реакций в арке

(рис. 4.8,в,г) совпадают с линиями вл ян я опорных реакций в со­

ответствующей двухопорн й балке ис( . 4.8,б).

Распор в арке определяется

вы ажению (4.5):

р

пон = M e

т

f

Значит,

л. в. Ни= (л. в. М°с Уf .

Таким

бразм, чтобы построить линию влияния распора

в

не бх димо построить линию влияния изгибающего

о

мом нта в сечении С соответствующей двухопорной балки

п

арке

Р

строится посредством суммирования линии влияния изгибающего

момента в сечении К соответствующей двухопорной балки MK

У

(рис. 4.8,ж) и линии влияния распора Н, взятой с множителем (-yK).

Окончательный вид л. в. М к показан на рис. 4.8,и.

Т

Поперечная сила в сечении К, согласно (4.8), определяется по за­

висимости:

Н

QK = QK cos Рк - н

sin Рк .Б

Следовательно, построение ее л н

вл яния следует вести по

выражению:

й

л. в.

и

Линия влияния расп ра Н руже построена (рис. 4.9,б), остает­

ся построить линию влияния бал чной поперечной силы в сече­

нии К (рис. 4.9,в). За емоумножаем

все

ординаты

л.в. QK на

cos (рк (рис. 4.9,г),

та орд наты л.в. Н -

на sin рк

(рис. 4.9,д).

Взяв их ра

получ м линию влияния поперечной силы в

сечении К арки

. 4.9,е).

(рис

Анал гичн , исходя из формулы (4.9)

з

ность,

п

получим выражение для построения линии влияния продольной си­

лы в с ч нии К арки:

е

Р

нулю изгибающих моментов во всех сечениях арки.

Н

При действии только вертикальных нагрузок изгибающие мо­

менты в сечениях арки определяются выражением (4.7). Приравняв

Б

это выражение нулю, найдем зависимость изменения ординат ра­

циональной оси арки в виде:

й

М

0

(4.10)

У = —

.

и

н

Из этого выражения следуер, что ординаты оси арки рациональ­

ного очертания

дейс вии лько вертикальных нагрузок про­

порциональны

о

зг бающ м моментам, возникающим в соответст­

вующей двухопорной балке, имеющей тот же пролет и ту же на­

т

грузку, что и арка. Коэфф циент пропорциональности при этом ра­

вен величине,

братной распору Н .

при

рациональную ось трехшарнирной арки при дей­

з

ствии на нее вертикальной равномерно распределенной нагруз­

ки (рис. 4.10,а).

о

О орные реакции в арке в этом случае равны:

Определим

е

R

R

^

—;н —.

R A —

А

B

2

8f

Р

направлению с биссектрисой угла в :

У

- N sin d t - ^ N +dN )sin d e _ q d s = 0.

Т

2

2

для бесконечно

малых величин ds

Учитывая, что

и

d t

sin d e

Н

« d e , а ds = r d e , и пренебрегая бесконечно малой вели-

чиной второго порядка малости dN d t / 2 , получим:

й

- N d e - q r d e = 0.

Разделив полученное уравнение на d

t , на дем радиусБкривизны арки:

р

г =N

q '

Следовательно, при N

о

= const ациональномуи

очертанию оси ар­

ки соответствует окружн

.

сть

систем

к с надарочным строением

4.5. Расчет трехшарнирных ар

з

Часто нагру ки на арки передаются не непосредственно, а через

надарочные строен

я, схемы которых показаны на рис. 4.11.

го

на неподвижные нагрузки начинается с рас­

Расчет таких

чета надар чн

строения, которое представляет собой совокуп­

ность

дн р летных балок. Нагрузка, приложенная к надарочному

строению,Построение линий влияния усилий в арках с

надарочным строе­

ередается на арку через вертикальные стержни. После

о р д л ния в них усилий расчет арки может выполняться как рас­

ч т побычных трехшарнирных арок, загруженных системой сосредо­

точ нных сил (рис. 4.11).

нием выполняется так же, как и в балках при узловой передаче на­

Ргрузки.

Например, для

арочной

системы,

изображенной

на