Строительная механика учебник

t1—t2 ,„ n „ „ ,„ _ ,„

2

получим

t =

t1+t2

будет равной t = t2 +---------h2

. При h1=h

2

h

линения всех волокон на d st = s dx = a t dx и затем поворота каж­

дой боковой грани относительно оси, проходящей через центр тя-

dq>t

У

жести сечения, на угол ----- .

2

Удлинение нижнего волокна равно a t1 d x , а верхнего - a t2 d x ,

Т

лости деформаций, получим:

Н

a t 1dx —a t 2 dx

a ( t 1—12) .

a t 'dx

dq>t = к dx = — 1-----------2—

= ——— —Бdx =

1

h

h

h

где t' =t1—12 - перепад темпе

.

й

Так как температурные деф

и

мации не вызывают сдвига сече­

ний, то, подставляя d st

и dq>t в

бщую формулу (7.6) для опреде­

атур

ления перемещений

заменяя в обозначении Aia индекс а на t

(ука­

зывает от чего

о

перемещение), получим:

кает

и—

— a t

(7.11)

A it

= Z

j N t a t d x + Z f

-----d x .

возн

l

l

h

о

Зам тим, что каждый из интегралов в этом выражении определя­

т работупвнутренних сил вспомогательного состояния системы на

п р м щ ниях, вызываемых изменением температуры. Поэтому на

участке интегрирования значения интегралов принимаются поло­

жительными в том случае, когда совпадают соответствующие на­

правления деформаций стержня, вызываемые усилиями i -го (вспо­

Р

Если на отдельных участках стержней

a, t, t' и h

остаются

неизменными, то выражение (7.11) преобразуется к виду:

a t

Q•M ■

(7.12)

h

где Q N —j Ni d x , Qm —JM t dx - площади эпюр продольных

l

l

сил

и изгибающих

моментов на участках

У

стержней с указанными особенностями.

Т

рамы (рис. 7.28,а) от указанного на схеме теплового воздействия.

Неизменные по длине каждого из стержней поперечныеНсечения при­

нять симметричными. Высота сечения вертикального стержня равна

h1, горизонтального h2 .

Б

а) состояние t

б) состояние 1

й

" о

и

10

=1

/

/

h2

F i

р

~~г~

/

I

I

h

1 . -

\

I

20

о

1

A

т

l

и

г)

в)

з

о

п

е

Р

Температура по

оси каждого стержня равна

20 +10

n

t = ----------= 15

■л0

2

перепад температур t

' = 20 -1 0 = 10

На рис. 7.28,б показано вспомогательное состояние рамы, а на

рис. 7.28,в,г - эпюры усилий N 1 и M 1 .

У

Вычисляем искомое перемещение:

a t '

1

I

15 *1 • I +

—X a t О N + X Ом —a 1 5 ------------ + a

h

2 2

2,5I Т

a

10 1 I

I

a

10 1 I

( 1,25l2

+ ----------------+

I = 18,75a +

- + ■

a.

h

2 2 2h2

2 2

h

h 2

7.9.

Определение перемещений,

Н

вызываемых перемещениями опор

Б

Предположим, что опорные связи

статически опреде­

лимой системы (рис. 7.29,а) под вл

ян

каких-то воздействий

заданной

переместились в положения, показанные на р с. 7.29,а: защемление

ями

повернулось по часовой стрелке на угол с , а шарнирно-подвижная

опора сместилась вверх на с2р. Об значим это состояние системы

как состояние с.

Для

определения перемещения какой-нибудь точ­

ки, например гор зон ального перемещения узла

D , во вспомога­

тельном состоян

потнаправлению искомого перемещения прило­

жим силу Fj = 1 (р

с. 7.29,б).

и

состояние г

а) с ст яние с

с 1'

з

h

о

1

2 ,

-г"

Кг°Р-

a h

h

пI

'A D " = Л ,-

ч

I

е

I

I

D

Р

и 2

1/ 2

Рис. 7.29

1-Aic + X Rki ск =

^

Т

где Rki - реакция в связи с номером к

от Fi

= 1;

Н

У

Ск - заданное смещение связи к .

Б

Отсюда следует, что

й

(7.13)

Aic = - X RkiCk

.

Знак произведения

Rki Ck

принимается

положительным, если

направления R ^

и Ck

р

совпадают.

Для рассматриваемого приме а получ м:

о

- h С2j = h ( |

+ Cc f j .

AD” = A,с = - X RkiCk = - ( - 2 С1

других свя ей), тоискомое перемещение определяется суммирова­

В заключен

е отме

м, ч о если заданная линейно деформируе­

з

несколько

воздействий

мая система

спытываеттодновременно

(внешняя нагру ка, менение температуры, смещение опорных или

п

нием с ставляющих от каждого воздействия в отдельности.

Особенн сти

пределения перемещений в статически неопреде­

е

лимых системахобудут изложены в дальнейшем.

Р

7.10. Матричная форма определения перемещений

У

Рис. 7.30

Б

Т

Для определения перемещения Ai примем вспомогательноеНсостоя­

й

ние таким, как показано на рис.7.30,б: по направлению искомого пере­

мещения приложена сила Fi = 1. На этом рисунке около каждого

р

стержня фермы показано обозначен е возн кающего в нем усилия N ki ,

где индекс k соответствует номе у сте жня. Индекс n соответству­

что

ет номеру последнего стержня фе мы.и

Из формулы (7.6)

следует, 0

n

и

k=1

з

о

е в k -м стержне от

Fi = 1;

где Nki

- ус л

п

k -го стержня фермы.

AIk

- абс лютная деформация

Развернутая запись последнего выражения применительно ко

вс м вычисляемым перемещениям представится так:

Р

A1 = N 11 A|1 + N 21 a |2 + ... + N n1 Aln >

е

A2 = N 12 AI1 + N 22 Al2 + • • • + N n2 Aln >

A m

N 1m AI1 + N 2m Al2 + • • • + N nm Aln

Alk — EEA k = d k N kF ,

EAk

где

EAk - жесткость стержня на растяжение (сжатие);

У

dk — lk

- коэффициент податливости к -го стержня.

EA.

k

Тогда для вектора деформаций, вызываемых заданной нагрузкой F .

существует зависимость:

Н

1l 1

_

di

N IF

Т

Al —

Al2

—

N 2F

—D N F , (7.15)

й

1 а nl 1

и

d n

N nFБ

ную запись формулы для

пределения узловых перемещений фер­

где

D

- матрица внутренней податл

вости стержней фермы;

N F

- вектор усилий в сте жнях фермы от нагрузки F .

о

Подставляя выражение (7.15) в фо мулу (7.14), получим матрич­

мы от нагрузки F

:

т

и

(7.16)

з

A —L N D N F .

Для

определен

( Т 7 И Л/ГИ

Т1 С Л/[С

Т1 К Л/[К \

я перемещений изгибаемых систем от нагрузки F

воспользуемся ф рмулой Симпсона. На k -м участке стержня с пе­

ременн й изгибн й жесткостью интеграл Мора запишется в виде:

е

M

M

M

M

M M

\ M iM Fdx _ lk

F

пI

6

E J H

- + 4-

- + -

E J

E J С

EJ к

где

верхние индексы H , С и K указывают на значения M ^,

Р

M F , ... и

E J

в начале, середине и конце участка интег­

lk

M H

lkMiM F dx

6E JH

4lk

M

I-

EJ

- M H

M C

M K

6EJC

0

lk

Т

M

У

F

Н

6EJ

к

—Lki D k M kF ,

Б

где

Dk - диагональная матрица податливости k

-го участка.

й

Для варианта линейных эпюр M j , M F

получим:

р

+ m F

M C —m H + M K ,

M C —

2

2

о

M

H

и тогда при E J — const вычисленияина участке сведутся к следую­

щему:

и

2 1k

k

i F

тMH MK] 6 E J

6 E J

'M M w dx

Суммируярезультаты вычислений по всем участкам, получим:

E J

lk

2lk

M

е

о

6 E J

6 E J

A,F —U

М М

dX —I LTu Dk MkF

(7.17)

п

E J

k

Используя последовательную стыковку векторов изгибающих

моментов на всех n

участках системы и введя в расчет матрицу

Рподатливости D всей системы, вычисление перемещений можно

AF

= 4

LT2i... LTm]x

D

M 1E

x

D n

M 2F

(7.18)

= LTD M F .

У

D m

M mF

Т

Если необходимо

определить

перемещения

нескольких

точек

системы, то следует вектор-строку

T

T

L , в

Lt

заменить на матрицу

Б

каждой строке которой будут записаны значения изгибающих мо­

ментов, вызываемых

-м вспомогательным состоянием.

Если ставится задача определения перемещений,Нвызываемых

различными загружениями, то необходимо вектор M F заменить на

и

матрицу, в каждом столбце которой записываются значения усилий,

соответствующие определенному загружен ю.

С учетом этих замечаний

выражен

е йдля определения перемеще­

ний изгибаемой системы в

случае может быть записано в виде:

общем

A1t

A11

A12

■

A =

A21

A22

-

A2t =

и

■•

Amt_

о

тAm1 Am2

(7.19)

1

A

”IA 3 F

A^KF} -

A41F"

п

зD>

M2F m f -

m f

T2

2 -

L

4

4

I

= £dm

мещенийдля одногозагружения, индекс t - числу независимыхзагружений.

f

f

4

Dm_

M F

M F

MF_

Mm

-^2m **‘

^m _

Р

В этом выражении индекс m соответствует числу определяемых пере­

Если M = L , то матрица A будет представлять собой матрицу

внешней податливости А изгибаемой стержневой системы:

A = LM D LM ■

(7.20)

A = L TN D L N .

У

(7.21)

7.11. Линии влияния перемещений

Т

Н

й

Каждому новому положению единичной силы (рис. 7.31,б) соответ­

ствует определенное значение угла поворота ( ^Б,&к2, . ). В то же

время, на основании теоремы о вза

мности

эти перемещения можно

определить каждый раз от

загружен

балки неподвижной обоб­

я

щенной силой М к = 1 (рис. 7.31,в). Следовательно, очертание ли­

ний влияния mk

ой

совпадает с эпю ой вертикальных перемещений

т

М к = 1 . Соответствующее этому за-

оси балки, вызванных сил й

и

оси балки записано в разделе 7.5.

гружению уравнение изогну

а)

з

б)

в)

о

п

е

Р

Рис. 7.31