Строительная механика учебник

M s= M 1 +M 2 + ••• + M n .

(8.18)

Если“перемножить” единичнуюэпюру M г- и эпюру M s , то получим:

с M M s dxj. M i (M 1 + M 2 + • • • + M n)dx

У

J Т=

Sis = ^

— E T ~ =

3

----------------------------- E

y f M M 1 dx |

y f M M 2 dx +| y f M iM n dx =

(819)

EJ

y f

EJ

y f

EJ Н

'

= $i1 + ^i2

++ ^in = y $ ik , k =^ ^ '' ^ n,

Б

то есть сумма коэффициентов при не

звестных в i -м (i = 1, 2, • • •,n)

уравнении должна быть равна 5is. Такаяйпроверка называется по­

строчной.

и

Вместо “перемножения” кажд й единичной эпюры моментов на сум­

марную M s на прак ике пр изврдится “перемножение” M s на M s .

Используя (8.19), несложнопоказать,

что:

тM M

dr

n

n

•

(820)

S ss =

z j M sM :

= y

y s k

и

EJ

i=1

k=1

то есть Sss

зсуммевсех коэффициентов канонических урав­

. Эту

р верку называют универсальной.

равно

Аналогично выполняется проверка правильности вычисления

свободных членов:

п

нений

,

^

rM M

* dx

n .

(8.21)

A sF = y f ------EJ----- = У А iF .

Р

EJ

i=1

вильных вычислений. В ходе определения 8 ^ ,

A*

и 5ss , As* на не­

которой операции может быть допущена одна и та же ошибка и, как

У

следствие, она окажется незамеченной. Поэтому, еще раз напомним,

основой правильных расчетов на этом этапе является знание и уме­

Т

ние правильно применять способы вычисления интегралов Мора.

Для проверки окончательной эпюры моментов используются

статическая и кинематическая проверки.

Статическая проверка

Н

эпюры “M ” сводится к проверке равновесия узлов рамы. С ее помо­

щью выявляются только ошибки, которые могут быть допущены при

Б

операции построения эпюры моментов с помощью формулы (8.15).

Основной проверкой является кинематическая (другие ее назва­

ния: деформационная проверка, проверка перемещений). Переме­

й

щение точки приложения i -й основной неизвестной по ее направ­

и

лению в заданной системе должно быть равно нулю. Поэтому,

пользуясь общим правилом определен я перемещений, получим:

р

M i M

dx

(8.22)

о

В таком случае поня н , ч

и сумма перемещений по направле­

ниям всех основных неизвес ных т же равна нулю. Следовательно,

т

(8.23)

о

то есть ре ультати“перемножения” суммарной единичной эпюры

п

эпюру моментов должен быть равен нулю.

M s на к нчательнуюз

женной на рис. 8.14,а.

Q

и

N заключается в проверке

Статическая проверка эпюр

равнов сия отсеченной от опорных закреплений части рамы.

П р и м е р. Построить эпюры

M ,

Q и N

для рамы, изобра­

Заданная рама является дважды статически неопределимой. Ос­

Рновная система и основные неизвестные показаны на рис. 8.14,б.

811X 1 + 812X 2 + A1F = 0; [

821X 1 + 822X 2 + A2F = °.J

Эпюры изгибающих моментов в основной системе от действия

X 1 = 1, X 2= 1 и внешней нагрузки показаны на рис. 8.14,в,г,е.

У

Определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены

в канонических уравнениях:

Т

811 = —^ - f 1 1 1 2 1 +

• 3 2 3l + — 3 • 6 • 3 + — ^

• 3 2 3 = -2 0 3 ;

11

2EJ У2

3 2

3 J

EJ

EJ 2

3

3EJ

1

1 1

2

Б

144

822 = ------------------------------------6 • 4 • 6 + --------6 • 6 - 6 = ------- ;

22

2EJ

EJ 2

3

EJ

Н

й

и

812 =821 = --------6 • 4 • 1------- 3 • 6 • 3 = -------;

12

21

2EJ

EJEJ

A1F = —1— 320 • 4 -1+ - ^ - (320 • 3 + 4

125 • 3 + 20 • 3)= 3160

1F

2EJ

о

'

^ rV

1

т

f\

A2F = ------- 320 • 4 • 6 + -------р(- 320 • 6 - 4 -125 • 3) = ----------.

2F

2EJ

6EJ

EJ

Для

и

проверки коэфф ц ен ов и свободных членов построена

суммарная

з

M s . Используя

формулу

един чная эпюра моментов

(8.20), п

о

лучим:

п

8„ =—-— (2• 3• 3+2• 7• 7+3 • 7• 2)+

е

ss 6• 2EJ

+ - ^ ( 3

• 3+3 • 3) + - L I 3• з 2 з =-239

Р

6E J

EJ 2

3

3EJ

Действительно:

203

66

66

144

239

811 + 812 + 821 + 822 = 3EJ

E J

E J

+'E J

3EJ

к)

20,0

л)

10 кН/м

27,53'

.....

* А

*

13,43

4,48

30,0

6 м

30,0

4,48'

+-

У

Q (кH)

30,^ ^ ^ ^

Q

(кН)

ш

||ш|т',т’','чцдццщ|

30,0

м)

10 кН/м

н)

Н

м) &

T

V t

®

\^M=M(x)

Б

-x

10,0Т

-

Т 10,0

М к

а

k

f

Т

,

)

2м

I

,

1

10,^

^

V

/0,0

и

о)

п)

й

N

2-3

N2 -

' N

о

3 .4 = 0

27,53

- 1

^

1

20,0

р

32,47

X

Г 48

52,47т

Г* \т 48

N 1-2

N

3-5

Р)

с)

27,53

о

III IIHIIII

i

4,48и

п

=0=

<->

___

4,48 кH

27,53 =з/ t

4,48кH

е

52,47^

52,47 кH

® (кH)

i к27,53 кH

Р

0,71 кH •м

Окончание рис. 8.14

мощью формулы (8.17) найдем, что в сечении, примыкающем к узлу 2:

У

= 27,53 кН,

Т

а в сечении, примыкающем к узлу 3:

Н

Б

32,47 к .

Эпюра Q

й

на консоли 3-4 строится как для статически опреде­

и

лимого фрагмента рамы. Впрочем, в этом случае можно восполь­

р

зоваться формулой (8.17), если рассмотреть участок 3-4 как балку

на двух опорах (рис. 8.14,м).

о

Тогда в сечении, примыкающем к узлу 3:

и

2

з

а в сечении, пр мыкающемтк узлу 4:

о

п

2

е

Р

Для ст ржня 1-2 получим:

4,48 кН,

4,48 кН.

ния к

(рис. 8.14,н), необходимо найти точку пересечения касатель­

ной и оси стержня (точка O ).

У

Если ось стержня необходимо поворачивать вокруг точки O до со­

Б

вмещения с касательной кратчайшим путем по ходу часовойТстрелки,

то поперечная сила в сечении к будет положительной (Q > 0). При

движении оси стержня против хода часовой стрелки Q <Н0 .

На линейных участках эпюры изгибающих моментов поло­

жение касательной совпадает с

линие

, ограничивающей эпюру

M . Поперечная сила на всей дл

не этого участка будет посто-

4

р

й

янной. Для стержня 3-5 Q

13,43

= —3— = -4,48

кН, а для стержня 1-2

Q = - 18,62 -

о

071 = -4,48 кН.

значениях

п перечных сил в стержнях из уравне­

При известных

ний равновесия узлов определяются продольные силы N . Вычис­

ления

N

з

начинают стузла, в котором стыкуются стержни не более

чем с двумя не вестными усилиями, и далее, последовательно вы­

о

резая узлы,

пределяют усилия во всех остальных стержнях. Урав­

п

аписывают в виде суммы проекций всех усилий

нения равн весия

(и рил женных к узлу внешних сил, если они имеются) на верти­

е

и

горизонтальную

оси,

или, при наличии наклонных

кальную

ст ржн й, если вычисления упрощаются, на оси, перпендикулярные

Р

направл ниям стержней.

Составив для узла 2 (рис. 8.14,о) уравнения £

X = 0,

£ Y = 0

найдем N 2_3 = -4,48 кН, N ^ 2 = -27,53 кН.

Из

уравнения

£ Y = 0

для

узла

3

(рис.

8.14,п)

получим

N 3-5

= -52,47 кН.

Уравнение

£ X = 0 для узла 3 является проверочным. Эпюра

N показана рис. 8.14,р.

Q и N

Для проведения статической проверки эпюр

отсекаем

раму от опорных закреплений, нагружаем ее заданной нагрузкой и

У

поперечными и продольными силами в сечениях, отделяющих

стержни от опорных закреплений (рис. 8.14,с). Составляя уравнения

£ X = 0, £ Y

= 0 и

Т

£ М = 0 , убеждаемся в том, что рама нахо­

дится в равновесии.

Н

8.8. Понятие о рациональной основной системе

и способы ее выбора

Б

Рациональной основной системой называют такую систему, для

й

которой в канонических уравнениях возможно большее число по­

бочных коэффициентов обращается в нуль. При этом очень важно

и

установить нулевые коэффициенты л шь на основе визуального

анализа очертания эпюр усилий, не затрач вая время на их опреде­

ление. Обращение

в

р

нуль побочных коэффициентов приводит к

принято

значительным упрощениям в

асчете.

Если

некоторый

коэффициент SiK авен нулю, то

соответст­

вующие эпюры M t

т

называть взаимно ортогональ­

и

M к

ными (аналогия со скалярным произведением взаимно ортогональ­

з

ных векторов).

К наиболее

часто

спользуемым способам

получения рацио­

основных

нальных

систем

относятся: использование

симметрии

системы, группир вки неизвестных, преобразование нагрузки, рас­

п

членение мн г пр летных рам.

новные

Ис льз вание симметрии системы. Основную систему для

1.

рамы, им ющей симметричное распределение линейных размеров и

Р

(рис. 8.15,д). Следовательно, коэффициенты

5 ц , 5 ц , S23, S32,

834, 543 равны нулю.

У

Вычеркнув в системе уравнений (читатель должен записать их)

слагаемые,

включающие

перечисленные коэффициенты, увидим,

Т

что она распалась на подсистему, содержащую только симметрич­

ные неизвестные и уравнение с обратносимметричной неизвестной.

Н

а )

б )

в )

Б

й

и

I

1'2 \ ^ 2 I

р

г)

од )

е )

X2=1

X2=1

т

и

M)з

t h ©

о

Рис. 8.15

п

Н сложно, очевидно, распространить приведенные рассуждения

е

на примеры рам с большим количеством неизвестных.

2.

Группировки неизвестных. Во многих случаях основные

Рнеизвестные невозможно расположить на оси симметрии. Так, для

рамы,

изображенной на рис. 8.16,а, число

лишних связей равно