Строительная механика учебник

/

ч

= —

l ______ X

X M B' = 0,-1 (l - x)+ RA I = 0 , RA

.

(6.2)

Из уравнений равновесия

узлов шарнирной

цепи

в

местах

равна распору системы Н.

Чтобы найти усилие Н,

проведем сечение II-II, проходящее че­

рез шарнир С и горизонтальный стержень цепи (рис. 6.5,а). Соста­У

вив сумму моментов сил относительно шарнира С для одной из час­

тей системы, например, для левой, получим:

Т

Н

Или, учитывая, что

Б

й

(6.3)

и

получим формулу для

усилия Н :

р

определения

т

Из

раложения

продольной силы в элементе цепи в точ­

ке А ' (рис. 6.6,а), найдем вертикальную составляющую VA :

з

условий

VA = H t g a .

п

е

Р

(6.5)

i

cos a

У

Усилия в подвесках определяются из уравнений равновесия уз­

лов (рис. 6.6,б,в,г).

Т

Для определения внутренних сил в сечении К проведем через К

строго вертикальное сечение и рассмотрим равновесие левой части

(рис. 6.7).

Продольную силу в разрезанном элементе цепи разложим на

вертикальную и горизонтальную составляющие H и V1. Изгибаю­

щий момент и поперечная сила в сечении К будут равны:Н

M K = ( A + VA ) XK - F (xK -

й

- Ук ) =

X )- H (

+ f )Б+ H (h + f

= R A X K - 1 (xK - x

и

y K ;

(66)

) - H y K = M K - H

Qk = Ra - 1 - H tg a 1 = QK- H tg a 1 ,

(6 7)

где M K0

о

и QK0 - изгибающий м мент и поперечная сила в соот­

т

простой

двухопорной

ве с вующемрсечении

балки,

имеющей тот же пролет и ту же нагрузку,

ч о рассма риваемая система.

з

На основе полученных зависимостей для определения опорных

реакций и усилий можно строить необходимые линии влияния.

Так,

ль уя формулы (6.1) и (6.2), строим линии влияния

RA = VA + VA (рис. 6.5,б) и

RB = VB +VB

(рис. 6.5,в).

Как для

е

простойобалки строится линия влияния балочного изгибающего

мом нта (рис. 6.5,г). По формуле (6.4) строится линия влияния

Р

У

При действии на сооружение нагрузки (будем далее обозначать

этот фактор через F ), при изменении температуры ( t ) или смеще­

Н

нии опор ( с ) появляются линейные отклонения его точек и углы

поворота сечений.

На рис. 7.1 сплошной линией показано начальное (до приложенияТ

внешней нагрузки) положение стержней рамы, штриховой - положе­

ние после нагружения (деформированное). Сечение K переместилось

й

в положение K i. Угол р характеризует поворот сечения, отрезок KKi

(на схеме не показан) - линейное перемещение сеченияБK .

р

-/з

1

3

2 -

1 '

о

/

А 2F

и

т

I

/Ki

и

Х 7

з

Р= АзF' l

I/

о

ь

,

п

2'

Рис. 7.1

Р

Лин йное еремещение сечения K по направлению, не совпадаю­

щ му с истинным, можно установить, найдя проекцию отрезка KKi

ена это направление. В инженерных расчетах наиболее часто опре­

правление перемещения, а второй -

причину, вызвавшую переме­

щение. Так, A i, обозначает перемещение сечения по 1-му направле­

Т

нию, вызванное внешней нагрузкой. Смысл обозначений А2F

и А з,

Н

раскрывается с помощью рис. 7.1. В дальнейшем необходимо будетУ

определять перемещения по направлению действия некоторых со­

Б

следу­

средоточенных сил Fi , F 2 ,•••,Fn . Тогда обозначение АF

ет читать так: это перемещение точки приложения силы

F

по ее

направлению, вызванное нагрузкой F .

й

Перемещение по i -му направлению, вызванное температурным

воздействием, обозначается А

^ ,

смещением

опор - Агс .

р

Определение перемещений в л нейно деформируемых системах

основывается на общих теоремах об уп уг х системах.

щение (движен е) его з

сходного

состояния в новое, деформиро­

7.2. Работа внешних статически приложенных сил

вать

рениями

Приложение нагрузки к люб му сооружению вызывает переме­

з

такую нагрузку, которая прикладыва­

ванное. Будем рассматр

ется к

сооружен

ю настолько медленно, плавно, что возникающими

при эт м уск

его элементов, следовательно,

и

силами

инерции их масс м жно пренебречь. Такой процесс нагружения назы­

вают статическим, а соответствующую ему нагрузку - статической.

е

Пусть стержень, выполненный из нелинейно-упругого материа­

ла, ис ытывает растяжение силой F

(рис. 7.2).

Р

“напряжение-деформация” этого материала показана

Диаграммап

У

Площадь диаграммы о , как известно из курса сопротивленияТ

материалов, равна удельной потенциальной энергии Uq (иначе,

плотности энергии - энергии, отнесенной к единицеНпервоначаль­

й

ного объема элемента) при линейном напряженном состоянии.

Если изменить масштаб ординат

графика

а —sБ, введя зависимо­

сти N = а A и А/ = s l , то можно получ ть часто используемую в

“нагрузка

-перемещение” (рис. 7.4).

практике расчетов зависимость

о

т

и

з

о

п

нение

Р

z обозначено некоторое промежуточное абсолютное удли­

Ч р з

стержня, вызываемое силой F (z ), а через А - перемещение,

У

Т

Для линейно-упругого стержня зависимость между силой и пе-

ремещением линейная (рис. 7.5). Поэтому

F (z) = к z , где к - ко­

эффициент жесткости стержня.

Н

Б

F

й

и

р

А

о

Рис. 7.5

Конечному значению силы с

тветствует перемещение А . Рабо­

та статически приложенн й силы вычисляется по выражению:

и

А

А

W = JFт(z) dz = J к zdz

2

2

0

0

0

0

т

k t

F

F А

Так какок з= tga = — , то W = -----

А

2

2

1

*

(7.1)

W = - Z F А -.

У

Например, при статическом действии на балку, показанную

на рис. 7.6, сосредоточенных сил

F , F-

и сосредоточенного мо­

мента M действительная работа внешних сил равна:

Т

Н

W = F 1 А1 + F - А2 M P

2

2

2 .

Б

й

и

р

о

т

Рис. 7.6

Знак минус перед последним слагаемым выражения принят по­

и

тому, что направление угла поворота р поперечного сечения балки

з

M являются противоположными.

и на равление м мента

о

7.3.

Работа внутренних сил

плоской линейно-упругой стержневой системы

п

При статическом действии внешних сил на деформируемую сис­

е

Р