ЛЕКЦИЯ № 5

§ 13. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФКП

Точки плоскости z , в которых функция f (z)

не является анали-

тической, называются особыми точками этой функции.

У

ванных особых точек.

Н

Точка z = a

называется изолированной особой

точкой функции

f (z) , если существует такая окрестность точки

z = a , вТкоторой

Б

она является единственной особой точкой функции

f (z) .

Если

z = a

– изолированная особая точка

f (z) , то существует

йc

достаточно малое кольцо r <

z − a

< R , в котором

f (z) аналитична

и разлагается в ряд Лорана:

и

∞

∞

−n

f (z)

= ∑ cn (z − a)n + ∑

.

(35)

n=0

n=1(z − a)n

о

т

триься случая:

При этом могут предс ави

I. Разложение (35) не с держит главной части и, следователь-

но, имеет следующ й в д:

з

о

f (z) =

∞

c

(z

n

−a) +c

(z −a)

2

+

... +c

(z −a)

n

+.... (36)

∑

n

0

1

2

n

n=

0

п

Этот ряд является степенным и его сумма есть аналитическая

е

z = a ).

функция в круге

z −a

< R (включая и его центр

Во всех

Р

z = a ,

ряд

(36)

сходится к

функции

точках круга, кроме точки

f (z) , а в точке

z = a

(где

f (z)

не

является аналитической) –

Если принять f (a) = c0 , то разложение (36) станет справедливым

в круге

z − a

< R , включая и центр

z = a . Следовательно,

f (z)

станет аналитической в точке a .

Очевидно, что в достаточно малой окрестности устранимой

особой точки

f (z) ограничена,

т.е.lim f (z) = C

, где С – конеч-

ное число.

z→a

Т

Это свойство можно использовать для определения (нахожде-

ния) устранимой особой точки функции

f (z) .

Н

У

Пример

f (z) =

sin z

.

Показать, что

z = 0

–

устранимая

особая

точка

z

й

данной функции

f (z) .

Б

Решение. Имеем

р

о

5

2

4

sin z

1

z

3

z

zи z

f (z)

=

z

= z

(z −

3!

+

5! −...) =1

− 3! +

5! −... .

т

и

В получившемся разложении отсутствует главная часть, откуда

следует выска

у верждение.

Для

z

занное

не

определена;

если

положить

f (0) =1, то

= 0

f

(z)

число∞

z = 0.

функция станет аналитической в точке

II. Разл жение (35) содержит в своей главной части лишь ко-

нечное

членов и, следовательно, имеет вид

е

f (z) = ∑ cn

(z − a)n +

c−1

+

c−2

+... +

c−m

,

(37)

Р

п n=0

z − a

(z − a)2

(z − a)m

где c−m ≠ 0 .

f (z)

Если в разложении (37) в ряд Лорана функции

в окрестно-

сти точки

z = a

главная часть содержит лишь конечное число чле-

f (z) =

1

[c

+c

(z −a) +...+c

(z −a)m−1 +

У

(z −a)m

−m

−m+1

−1

+c (z −a)m +c

(z −a)m+1 +...] =

1

g(z),

0

1

(z −a)

m

Н

где lim g(z) = g(a) = c

≠ 0

. Отсюда и следует, что

f (z) → ∞ .

z→a

−m

Б

z→Тa

Из предыдущего равенства следует:

f (z)(z − a)m = g(z) lim{ f (z)(z − a)m} = c−m ≠ 0

и

≠ ∞ .

(38)

z

→a

и

нахождения полюса по-

Равенство (38) дает удобный кр тер

рядка m .

имер

й

z

что

П

f (z) =

1−cos z

. Показа ь,

z = 0 – полюс 2-го порядка этой

4

т

функции.

о

и

z

2

z

4

1

z

2

z

4

Решение.

f

(z) =

1

(1 − (1 −

+

−...)) =

(

−

+...) =

п

зz4

2!

4!

z4

2!

4!

1

1

z6

=

−

+

−....

2!z

2

4!

6!

Р

Т.к. главная часть этого разложения состоит из одного члена

1

е, то

z = 0 – полюс 2-го порядка. При этом lim f (z)= ∞ , как и

2!z2

z→0

должно быть для полюса.

1−cos z = lim sin z

cos z

1 .

Заметим, что

lim z2 f (z)

= lim

= lim

=

z→0

z→0

z2

z→0

2z

z→0

2

2

Если в разложении в ряд Лорана функции f (z) в окрестности точ-

ки z = a

главная часть содержит бесконечное множество членов, то

точка z = a называетсясущественно особой точкойфункции f (z) .

Относительно поведения функции

f (z)

в окрестности суще-

Т

ственно особой точки имеет место теорема Ю.В. Сохоцкого.

Теорема Ю.В. Сохоцкого. Если z = a является существенноУосо-

бой точкой функции

f (z) ,

то для любого числа A (ко-

Б

нечного или бесконечного) существует такая последова-

тельность {zn} значений аргумента, стремящаяся к a , для

которой последовательность { f (zn )} стремитсяНк A .

Теорему принимаем без доказательства.

Коротко

будем

говорить,

П

и

что в существенно особой точке

1

имер

й

функция неопределенна.

о

Функция

т

et аналитична во всей плоскости t и представлена на

f (z)

= e z

. Показа ь,

z

= 0

– существенно особая точка.

з

Решение.

о

t

t2

пл

t

z

=1+

1! + 2! +....

этой

ск сти рядом e

е

1

Положим t = 1 . Функция

f (z)= e z

аналитична при

z

> 0, т.е.

на вс й плоскости z, исключая точку

z = 0,

и представляется там

1

1+ 1 +

1

1

рядом e z =

+... +

+... .

Этот ряд в главной части

2!z2

n!zn

Р

z

1

1

Пусть z = x → 0 :

lim e x

= ∞

,

lim e x = 0 .

x→+0

x→−0

У

Пусть А= reiϕ – любое комплексное число, отличное от 0 и ∞.

1

Т

Из

равенства f (z) = A = ez

следует,

что z =

1

=

1

,

Ln A

ln r +iϕ+ 2πin

n = 0; ±1; ±2, … Тогда

zп =

1

Н

ln r + iϕ + 2πin

Б

точек {zn}, стремящаяся к нулю. При этом f (zn ) → A .

Вывод. Если z = a

есть изолированная особая точка функции

й

f (z) , то в зависимости от того, является ли эта точка устранимой,

функция

f (z)

в достаточно ма-

полюсом или существенно особой,

лой окрестности точки z = a

будет соответственно ограниченной,

р

бесконечно большой или неоп еделенной.

о

есть изолированная особая точка

Верно и обратное: если z

= a

функции f (z) , то она будет уст анимой, полюсом или существенно

т

т т го, будет ли предел lim f (z) ко-

особой точкой в зависим с и

нечным, бесконечным

ли несуществующим.

z→a

з

§ 14. НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

СВЯЗЬиМЕЖДУ НУЛЯМИ И ПОЛЮСАМИ

п

f (z) называют любую точку a ,

в которой

Нулем функции

f (a) = 0о.

Если аналитическая в своем нуле функция

f (z)

не равна тожде-

ств нно нулю, то ряд Тейлора в окрестности точки z = a

имеет та-

екой вид:

Р

f (z) = cm (z − a)m + cm+1(z − a)m+1 +... ,

(39)

Из

ck

=

f

(k) (a)

, k

= 1, 2, … следует, что если z = a – нуль по-

k!

рядка

m,

то

f (a) = f '(a) =... = f (m−1) (a) = 0 ,

но

f (m) (a) = cm ≠ 0 .

Следовательно, порядок нуля a

есть порядок первой, отличной от

нуля производной

f (m) (a) .

У

Теорема. Для того, чтобы z = a была нулем т-го порядка анали-

тической функции

Т

f (z) , необходимо и достаточно,

чтобы эта функция имела такой вид:

Н

f (z) = (z −a)m ϕ(z) ,

Б

(40)

где ϕ(z)

аналитична в точке z = a и

ϕ(a) ≠ 0 .

й

Доказательство

и

Необходимость. Пусть z = a – нуль

m -го порядка, следовательно,

р

+ cm+1(z − a) +...] =

имеет место формула (39). Т гда

f

(z) = (z − a)m[cm

= (z − a)

m

ϕ(z) , где

о

... –

аналитическая в

ϕ(z) = cm

+ cm+1(z − a) +

точке z = a функц

я

т

0

, что и требовалось доказать.

ϕ(z) ≠

Достаточность. Справедлива формула (40), тогда ϕ(z)

разлага-

ется в ряд и

и

f (z) = (z −a)m[b +b (z −a) +...] =b (z −a)m +b (z −a)m+1 +...,

з

0

1

0

1

причем

b0

Значит, имеет место формула (39).

Теорема

= ϕ(a)≠ 0.

о

доказана.

Часто удается выяснить характер особых точек функции, поль-

п

зуясь сл дующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы z = a была нулем т-го порядка анали-

е

тической функции

f (z) , необходимо и достаточно,

Р

Доказательство

Необходимость. Пусть

z = a – нуль функции

f (z) порядка m .

m

1

1

Тогда

f (z)= (z − a)

ϕ(z) F(z)=

=

.

Отсюда

f (z)

(z − a)m ϕ(z)

F(z)(z − a)m =

1

и