ра этой функции, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что наибольший радиус r круга с центром в

точке z = a , в которой функция f(z) разлагается в ряд

ейлора, ра-

У

вен расстоянию от точки z = a до ближайшей к ней особой точки, в

которой эта функция не является аналитической.

Т

Так как ряд Тейлора и формулы дифференцирования для функ-

ции КП имеют тот же вид, что и для функции действительного пе-

ременного, ряды Тейлора для функций комплексногоНпеременного

не отличаются по виду от рядов Тейлора для тех же функций дей-

ствительного переменного. Ряды Тейлора для

Бфункций ez, cos z, sin

z, ln z, (1+z)m имеют следующий в д:

йn

z

z

2

z

3

ez

=1+

+

+

+...+

z

+...;

1!

2!

и3! n!

z

3

z

5

7

n

z

2n+1

рz

sin z

= z −

+

−

+...+

(−1)

+... ;

3!

5!

7!

(2n

+1)!

о

2

4

z

6

n

z

2n

тz z

+(−1)

+... ;

cos z =1

−

+

−

+...

2!

4!

6!

(2n)!

и

m

m

m(m −1)

2

m(m −1)...(m −n +1)

n

;

(1+ z)

з

2!

z

+

...+

n!

z

+...

=1+

1! z +

о

(z −1)2

(z −1)3

(z −1)4

(z −1)n

ln z = (z −1) −

+

−

+...+(−1)n−1

+... ,

п

гдеа = 1.

2

3

4

n

Р

степени z − a вида

У

∞

∞

∞

c−n

∑ cn (z −a)n = ∑cn (z

−a)n +∑

.

(31)

n

n=−∞

n=0

Н

n=1 (z −a)

Слагаемые в правой части (31) называются соответственноТпра-

вильной и главной частью ряда.

Первый ряд справа – обычный степенной ряд, сходящийся в не-

п=1

заменой

1

котором круге

z −a

< R . Второй ряд

= ξ преобразу-

z −a < r,

z

a

r.

сходится

Бz − a

∞

ется в степенной ряд

∑с−пξп , который сходится в круге

ξ

< r.

От-

сюда

1

и

−

>

Ряд (31)

в кольце r <

z −a

< R.

о

т

рдится абсолютно, равномерно и его

В этой области ряд (31) сх

сумма есть аналитическая функция:

и

з

∞

(z −a)n .

f (z)= ∑ cn

(32)

n=−∞

О ределим к эффициенты сn ряда (32). Для этого умножим р а-

е

о

f (z)

∞

k −n−1

в нство (32) на

(z −a)−n−1 , получим

=

∑ ck (z −a)

..

(z −a)

n+1

п

k =−∞

Р

Проинт грируем полученное выражение почленно по окружности

L:

z −a

=ρ, r < ρ < R . Имеем следующее равенство:

f (z)

∞

k

−n−1

dz = ∑

∫

ck ∫(z

−a)

dz.

(33)

L (z −a)n+1

k =−∞ L

m

2π

m

e

imϕ

iρe

iϕ

dϕ = iρ

m+12π i(m

+1)ϕ

dϕ =

∫(z − a) dz

= ∫ρ

∫e

L

0

0

У

m+1

(ei(m+1)2π −1)= 0, m ≠ −1;

iρ

=

m +1

m = −1.

2πi,

Из равенства (33) имеем:

Т

f (z)

Н

∫L

dz = сп2πi ,

(z −a)n+1

откуда

Б

й

сп =

1

f (z)

i∫

dz,

n = 0,

±1,... .

(34)

2π

(z −a)n+1

и

Ряд (32), коэффициен ы к т

го определяются формулой (34),

р

называется рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки a.

Заметим, что сумма f(zо) двустороннего ряда (32) является анали-

тической функц ей

тв кольце его сходимости и этот ряд является

рядом Лорана, своей суммы.

Возникает в проси, всякую ли функцию f(z), аналитическую в не-

котор м круг в м кольце,

можно разложить в этом кольце в ряд

з

Лорана? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

о

Т ор ма. Всякая функция f(z), аналитическая в круговом кольце

п

r <

z −a

< R , может быть в этом кольце единственным

е

Р

f n (a)

У

на исчезает. В этом случае c

=

. Имеем ряд Тейлора. Значит,

n

n!

ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда f(z) ана-

литична в «кольце» 0 ≤

z −a

≤ R .

Н

Точки плоскости z , в которых функция

f (z) не является анали-

тической, называются особыми точками этой функции.

Т

Пример 1

Б

Разложить функцию

f (z) =

1

в ряд Лорана.

z(1− z)

Решение. Функция

f

и

(z) имеет две особые точки z = 0 и z =1,

в силу ч его имеются два

круговых

«йкольца» с центром в точке

a = 0 ,

в

которых

f (z)

аналит чна

–

это

кольца

1) 0 <

z

<1 и

2)

z

>1.

z

т

1)

∞

0

<

<1. Тогда разл жим данную функцию на сумму про-

о

стейших дробей:

з

f

(z) =

1

+

1

= 1 +(1+ z + z

2 +...+ zn +...) = ∑zn .

о

и1− z z

z

n=−1

Главная часть п лученного ряда Лорана состоит из одного члена 1 .

z

Зд сь мы рассматривали вторую дробь как сумму геометрической

прогрпссии со знаменателем q = z ;

е2)

>

. Дробь

1

аналитична вне круга или для

1

Тогда

Р1

z

1

1− z

z

<1.

1

1

1

1

1

1

1

∞ 1

=

= −

1+

+...+

+...

= −

−

−...−

−

... = −∑

.

1

n

2

n+1

n

1− z

z

z

z

z

z

z

n=1 z

z

−1