- •ЛЕКЦИЯ № 1
- •§ 1. Области и их границы
- •§ 3. Элементарные ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 2
- •§ 4. Производная ФКП. Условия Коши – Римана
- •§ 5. Аналитические ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 3
- •§ 7. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§ 8. Теорема Коши
- •§ 9. Формула Коши
- •ЛЕКЦИЯ № 4
- •§ 10. Числовые и функциональные ряды ФКП
- •§ 12. Ряд Лорана ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 5
- •§ 13. Особые точки ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 6
- •Практические занятия
- •Ответы
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
- •Литература
|
ЛЕКЦИЯ № 6 |
|
|
|
|
|
§ 16. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В КОНЕЧНОЙ |
|
|||
|
ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ. |
|
|||
|
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ |
У |
|||
|
|
|
|
|
|
Вычетом функции f (z) в конечной изолированной особой точке |
|||||
z = a (обозначение Res f (a) ) называется коэффициент с−1 |
Т |
||||
при члене |
|||||
1 |
в разложении в ряд Лорана в окрестности точки a . |
|
|||
z −a |
|
||||
|
f (z) в окрестности точки a : |
||||
Напишем ряд Лорана для функции |
|||||
|
|
|
Б |
|
|
|
∞ |
∞ |
c−n |
|
|
|
f (z) = ∑cn (z − a)n + ∑ |
n |
|
(41) |
|
|
n=0 |
n=1 |
(z − aН) |
и проинтегрируем этот ряд почленно пойлюбому замкнутому контуру L, принадлежащему кольцу, в которомисправедливо написанное разложение, обходя L против часовой стрелки. Используя результат § 12 (Ряд Лорана ФКП), найдёмр, что все нтегралы в правильной части ряда будут равны нулю, все нтегралы главной части тоже
будут равны нулю, кроме единственного интеграла от первого члена главной части (где n = 1). В езультате указанного интегрирова-
ния ∫ f (z)dz = c−1 |
2πi , |
|
куда Res f (a) = c−1 |
= |
1 |
|
∫ f (z)dz . |
|||||||
|
2πi |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
L |
|
||
|
Из определен |
|
я |
|
|
следует, что если |
z = a |
есть правильная |
||||||
|
|
|
|
|
|
вычета |
f (z) , |
то Res f (a) |
= 0, так как |
|||||
или устранимая особая точка функции |
||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в этих случаях в ра ложении (41) отсутствует главная часть, так что |
||||||||||||||
все c−n = 0. зСф рмулируем основную теорему о вычетах. |
||||||||||||||
|
Осн вная те рема о вычетах. Если функция |
f (z) |
аналитична в |
|||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
области D и на замкнутом контуреL, ограничивающемее |
||||||||||||
|
всюду, за исключением конечного числа особых точек |
|||||||||||||
е |
|
a1,a2 ,...,an |
(лежащих внутриL), то интеграл от f (z) вдоль |
|||||||||||
|
L в положительном направлении равен произведению |
|||||||||||||
Р |
|
|
||||||||||||
|
|
2πi |
на сумму вычетов f (z) во всех точках ak , то есть |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (z)dz = 2πi ∑Resf (ak ). |
(42) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
k =1 |
|
|
57
Доказательство
Окружим точки ak окружностями ck настолько малыми, чтобы они лежали внутри L и не пересекали друг друга. Так как в мно-
госвязной области, |
|
ограниченной контурами L и ck |
|
и на самих |
||||||||||||||||||||||||||
этих контурах |
|
|
f (z) |
аналитична, |
то |
в |
|
силу |
теоремы |
У |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Коши |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
∫ f |
(z)dz = ∑ ∫ f (z)dz, |
где все контуры |
L и ck обходятся против |
|||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
k =1 ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часовой стрелки. Поделив и умножив правую часть на 2πi, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
∫ |
f (z)dz = 2πi ∑ |
|
|
∫ |
f (z)dz = 2πi ∑Res f (a |
k |
) , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
k =1 |
2πi ck |
|
|
|
|
й |
|
Н |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (ak ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
нтегралы от |
|
|
f (z) |
по за- |
|||||||||||||
Формула (42) позволяет выч слять |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
мкнутым контурам, |
|
если известны вычеты этой функции относи- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тельно всех особых точек, |
|
|
|
|
щихсявнутри контура. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление вычетов функции |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (a) |
= 0. |
|
|
|
|
||||||||||
1. Для устран мой особой очки z = a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
функции f (z) |
|
в конечной существен- |
|||||||||||||||||||||
2. Для выч слен я |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
но особой |
|
|
|
обычно непосредственно определяют коэффициент |
||||||||||||||||||||||||||
c−1 |
|
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в разл жении в ряд Лорана в окрестности этой точки. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Для |
|
люса получим некоторые удобные формулы. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
z = a |
– конечная точка, являющаяся полюсом порядка m |
||||||||||||||||||||||||||||
функции f (z) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е |
|
|
f (z) = ∑cn (z −a)n + |
|
c−1 |
|
+ |
|
c−2 |
|
|
+ + |
|
c−m |
|
|
. |
(43) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(z −a)2 |
(z −a)m |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
z −a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
РУмножим (43) почленно на (z − a)m : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f (z) (z −a)m =c |
−m |
+c |
−m+1 |
(z −a) + +c |
−1 |
(z −a)m−1 |
+c |
0 |
(z −a)m |
+c (z |
−a)m+1 + |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
58
Дифференцируя последнее равенство (m – 1) раз по z , получим
следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d m−1 |
|
{(z − a)m f (z)}= (m −1)!c−1 + m!c0 (z − a) + . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dzm−1 |
У |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя здесь к пределу при z → a , найдем |
|
|
|
Т |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m−1 |
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
|
Res |
|
f (a) =с−1= |
|
1 |
|
lim |
|
d |
|
|
|
|
|
{(z − a)m f (z)}. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(m −1)! z→a dzm−1 |
Б |
|
|
|
|||||||||||||||
|
В частности, если z = a – простой полюс (m = 1), то имеем сле- |
||||||||||||||||||||||||||
дующую формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Resf (a) |
= c−1 = lim{(z |
−a) f (z)} |
. |
|
|
|
(44) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть функция f (z) |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
является частным двух функций, аналити- |
||||||||||||||||||||||||||
ческих в окрестности точки а: |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
ϕ(z) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
з |
|
|
оg(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
причем |
ϕ(а) |
≠ 0; g(a) = 0; g′(a) ≠ 0. |
Значит, z = a – простой полюс |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции f (z) . Применяяиформулу (44), получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Res f (a) = lim(z − a) ϕ(z) |
= ϕ(a) lim |
|
|
1 |
|
= |
ϕ(a) |
, т.е. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
z→a g(z) − g(a) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Р |
п |
|
|
|
|
g(z) |
|
|
|
|
|
|
|
g'(a) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − a |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Resf (a) = |
|
ϕ(a) |
. |
|
|
|
|
|
(45) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
(a) |
|
|
|
|
|
|
|
Формула (45) удобна для нахождения вычетов в простых полюсах.
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В примерах 1–5 найти вычеты функции |
f (z) |
во всех ее особых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точках плоскости z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||
|
f (z) = |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z −i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. z = i – простой полюс; это уже и есть разложение в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лорана по ( z −i ), значит Res f (i) |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Или по формуле (45): Res f(i) = |
|
2 |
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z2 |
−1 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
1 |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
полюсы функции f(z); |
||||||||||||
Решение. |
и |
z = –1 – п остые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) = |
|
ϕ(z) |
, |
где |
|
ϕ(z)= z5 ; g(z) |
= z2 −1. |
Тогда |
Res f (1) = |
ϕ(1) = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
g(z) |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (1) |
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(−1) |
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. Res f |
(−1) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
и g'(−1) |
|
|
|
|
2 (−1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2z |
|
z=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
пf (z) = |
|
z |
6 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(z −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ешение.z = 1 – полюс4-го порядка. Имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
РRes f (1) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim |
d |
(z −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim(6 5 4 z3 ) = 20. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
(z −1) |
4 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! z→1 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→1 |
|
|
|
60
Пример 4
1
f (z) = e z .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
Решение. z = 0 – существенно особая точка. Имеем |
e |
z |
=1+ |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1!z + |
|||
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+... . Здесь с−1 = Res f (0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2!z |
2 |
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Вычислить вычеты функции |
|
f (z)= |
|
|
|
z + 3 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −1)(z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
– полюс 2-го порядка. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z =1 – простой полюс, |
z |
= −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Используем формулы для вычетов относйтельно простого полюса и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
полюса порядка m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (z)= lim{(z − a) |
f (z)}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=a |
|
|
|
|
|
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
m−1 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (z) |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
d |
|
((z −a) |
|
|
f (z)) |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zт=a |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
m−1 |
|
|
|
|
z=a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иz + 3 |
(m |
−1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
|
= lim(z −1) |
|
|
z + 3 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −1)(z +1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
з(z −1)(z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оz +3 |
|
|
1 d |
|
|
|
2 |
|
|
|
z +3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
= −1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z=−1 |
|
(z −1)(z + |
2 |
|
|
1! dz |
|
|
|
|
|
(z −1)(z |
|
|
2 |
|
z |
=−1 |
|
|
|
|
2 |
z=−1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
(z −1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Р |
Вычислить |
∫l |
|
ctg z |
|
dz , |
где l – окружность |z| = 1, проходимая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(4z − π) |
против часовой стрелки.
61
|
|
Решение. Знаменатель функции f |
(z) = |
|
ctg z |
|
= |
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
об- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4z − π |
(4z − π)sin z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ращается |
|
в |
нуль |
в |
|
точках |
|
z |
= |
π; z |
2 |
= 0; |
z |
k+2 |
= kπ (k = ±1, ± 2,...) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
а поэтому для |
f (z) |
эти точки являются полюсами, причём просты- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми, т.к. sin kπ = 0 , но (sin z′) |
|
z=kπ = cos kπ ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π; z = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Внутрь окружности |z| =1 попадают только полюсы z = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg z |
|
|
|
|
||||||
Тогда |
по |
|
|
основной |
|
|
теореме |
о |
|
вычетах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тdz = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫l (4z |
− π) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
ϕ(Н) ctg |
4 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
= 2πi Res f |
|
+ Res f |
(0) . |
|
|
|
|
|
Res f |
( |
|
) = |
|
|
4 |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Бg'(π) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
ctg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Res f (0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
2πi |
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin′z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
и∫(4z −π) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Пример 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Вычислить |
∫l |
|
|
|
|
dz |
|
, где l |
|
– окружность |
|
z −1−i |
=1, проходимая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
3 +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
против час в й стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
стые |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 +1 = 0 |
|
или |
|
|
z = 3 −1 , |
находим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Решив уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
про |
|
|
|
|
нули |
|
|
знаменателя: |
|
|
(z +1)(z2 − z +1) = 0. |
|
Имеем |
|
|
z |
= −1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
z |
2,3 |
= 1± 1−4 |
= 1± 3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Точки z1, z2 , z3 |
есть простые полюсы подынтегральной функции. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверим, какие из этих точек лежат внутри круга l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) |
|
z1 −1−i |
|
= |
|
− 2 −i |
|
= |
5 |
>1 – вне круга |
|
z |
|
<1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
= 1 |
+ 3−4 |
|
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
z2 −1−i |
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
3 |
|
i −1−i |
|
= |
|
+ |
|
|
3 |
i |
3 |
|
= 2 − |
3 |
|
|
|
<1 – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внутри круга; |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 − |
|
|
|
|
+2 |
|
|
|
= 1 + 3+4 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
z −1−i |
|
|
3 |
|
i −1−i = |
|
|
|
3 |
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|
>1− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вне круга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У= |
|||||||||
|
Тогда ∫ |
|
|
dz |
|
|
|
|
= 2πi Res f (z2 ) = 2πi |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2πi |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
′ |
|
|
1+ 3i |
|
|
|
|
|
Н |
|
1+ |
|
|
|
|
3i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l z |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
+1 |
z= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z |
|
|
|
z= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
−i). |
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
4πi |
|
|
|
|
|
|
= − |
4πi |
|
(1 |
+ |
3 |
i) |
= |
π |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
1 |
+ 2 3i |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
3(2 3i −2) |
|
3( |
|
3i −1) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр мер 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
люс 2-го порядка; |
|
z =1 –просой полюс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 (z |
−1) |
dz . |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Внутри области |
|
|
находятсяобе особые точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. Особые |
|
|
чки п дынтегральной функции: z = 0 – по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
п |
з∫ |
|
|
|
ez |
|
|
|
dz = 2πi(Res f (0) + Res f (1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=2 z |
2 |
(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма вычетовфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(z) в точках 0 и1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Res f (0)= lim |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
−ez +ez (z −1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 dz |
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
е z→0 dz z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −lim |
2ez |
−ez z = −2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
(z −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
Res f (1)= lim |
|
|
e |
z |
|
|
e |
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
(z −1) |
= lim |
|
= e. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
(z −1) |
|
z→1 z |
|
|||||||
|
z→0 z |
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, ∫ |
|
|
|
|
ez |
dz = 2πi(−2 + e). |
|||||||||
|
z2 (z −1) |
||||||||||||||
|
z −1 |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||
|
Вычислить |
|
|
|
|
∫=6 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
1 − cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. В заданную область попадает одна особаяточка z = 0 – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полюс второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Н |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= 2πi Res f (0) = 2πi lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫=6 1− cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 dz |
|
|
|
|
|
1− cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
2 z |
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z sin |
−2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2z(1−cos z) − z2 sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
2πi lim |
= 2πi lim |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
(1−cos z)2 |
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
й |
|
|
|
4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2z sin |
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
− z cos |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
т |
р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
− z cos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2πi lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 |
|
|
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
по прав лу Лопиталя: lim |
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(z) |
|
g (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cos |
|
|
− cos |
|
|
+ |
|
|
|
sin |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 2πi |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
→0 |
|
|
|
2sin |
z |
cos |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Им |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
е |
|
z |
|
∫=6 |
1− cos z |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
ln z |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −2 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln z |
|
|
|
||||||||||
|
Особая точка |
|
|
z = 2 |
|
– |
полюс 2-го порядка. |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dz = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
ln z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−2 |
|
=1 (z − 2)2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
У |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 2πi lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(ln z) = 2πi lim |
|
|
|
= 2πi |
|
= πi . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
z→2 dz (z −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||||||
|
Вычислить интеграл с помощью вычетов: ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz, |
L : |
|
z |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L z |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
Для |
|
|
|
вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
f (z)d =z |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
используем |
|
Бформулу |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z= 2πi∑R es f (z), где |
f (z) |
|
|
анал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– функц я, |
|
|
|
тическая в области D, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
z=a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ограниченной контуром L, всюду, к оме конечного числа особых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точек a1, a2 , a3,....,an. |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Для функции |
z2 +1 |
особыми точками |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
являются z = i, z = −i |
в облас и |
|
|
< 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
вательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
След |
|
|
|
|
|
|
, |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dz = 2πi Res |
|
f (z)+ Res f (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
z2 +1 |
|
|
|
|
|
|
z=+i |
|
|
|
|
|
|
|
z=−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Res f (z) |
= lim (z −i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пz=+i |
|
|
|
|
|
|
z |
→i |
|
|
|
|
(z −i)(z + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
еRes f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z +i) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
z=−i |
|
|
|
z→−i |
|
|
|
|
(z −i)(z +i) |
z −i |
z |
=−i |
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
e−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2πisin1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
z |
2 |
+1 |
dz = 2πi |
|
2i |
|
2i |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65