называют точки,

в которых нарушаются условия непрерывности

функции.

§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФКП

У

Т

Под элементарными функциями ФКП аргумента

z = x +iy по-

нимаются обычно следующие функции:

Н

f (z) = az +b,

(a,b Z) – линейная функция;

f (z) = zn (n – целое) – степенная функция;

f (z) =

az +b

,

(a,b,c, d Z)

– дробно-линеБная функция;

cz + d

и

f (z) =

a0 zn + a1zn−1 + + an

– общаяйрациональная функция;

р

b zm +b zm−1 + +b

0

1

m

f (z) =

1

1

– функция Жуковского,

2 z + z

а также показательная, логарифмическаяо

, тригонометрические, ги-

з

перболические функцтобратные тригонометрические функции.

1. Пока ательная функция еz для любого комплексного числа

о

z = x +iy

пределяетсяиформулой

имеем

w = ez = ex+iy = ex eiy

= ex (cos y +i sin y) .

(3)

Р

Положивп

в (3)

y = 0 , видим,

что для действительных

z = x

ez

= ex . При

x = 0 получаем формулу Эйлера:

eiy = cos y + isin y .

ности функции ez с периодом 2πi ,

функции sin z

и cos z имеют

период 2π , функции tg z

и ctg z – период π . Все известные триго-

нометрические тождества остаются в силе и для тригонометриче-

ских функций (5).

Т

В отличие от тригонометрических функций действительного ар-

гумента модули функций sin z и cos z могут быть больше единицы.

Н

4. Обратные тригонометрические функции определяютсяУкак

функции, обратные по отношению к тригонометрическим.

Число w называется

арксинусом

Б

числа

z

(обозначение

w = Arcsin z ), если z = sin w :

й

z

= sin w =

eiw −e−iw

2i

или

и

e2iw − 2izeiw −1 = 0.

т

Решая это квадра ное уравнениеротносительно eiw , найдем:

и

оiw

1

− z

2

,

e

= iz +

откуда

о

и

з iw = Ln(iz +

1− z2

)

е

Р

п w = Arcsin z = −i Ln(iz +

1− z2 ) .

Arccos z = −i Ln(z + z

2

−1)

− z

2

;

= −i Ln z + i 1

ez − e−z

ez

+ e−z

Н

У

shz =

2

; chz =

2

;

Т

= sh z

cthz = ch z .

(6)

thz

;

ch z

sh z

Функции sh z и ch z

й

th z и cth z

периодические с периодомБ2πi ;

и

имеют период πi . Опираясь на формулы (5) и (6), легко получить

р

следующие формулы, выражающ е г перболические функции че-

рез тригонометрические:

о

sh z

= −i sin iz ;

т

ch z = cosiz ;

th z = −i tg iz ;

о

cth z = i ctg iz .

6. Общая степеннаяифункция

п

з

= z

z2

= e

Ln zz2

z

2

Ln z

w

1

= e

1 .

е

1

Р