Практические занятия

ЗАНЯТИЕ № 1

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФКП.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

УСЛОВИЯ КОШИ–РИМАНА

Т

1. Выяснить, являются ли следующие функции дифференцируе-

мыми:

У

а)

f (z)= ch z ;

Б

б) f (z)= z2 z

;

Н

в) f (z)= z ez ;

г) f (z)=

z

z ;

й

д) f (z)=

Re z z .

2.

Выяснить, какие из следующ х функц являются аналитиче-

скими:

о

и

а) f (z)= zez ;

б) f (z)= ez 2 ;

т

р

в) f (z)=

и

z

Re z

;

г) f

(z)=

z Im z ;

д)

з

f (z)= sin 3z

−i .

о

ЗАНЯТИЕ № 2

е

Р

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФКП. ФОРМУЛА КОШИ

L

1.пВычислить интегралы:

а)

∫

z Im z2dz,

L :

z

=1 (−π ≤ arqz ≤ 0) ;

L

б)

∫e

z

2 Re z dz, L – прямая, соединяющая точки z1 = 0 и z2 =1+ i ;

в)

∫zz dz, L :

z

=1 (обход против часовой стрелки);

L

г)

∫ez

dz, L – дуга параболы y = x2 , соединяющая точки z1 = 0

L

и z2 =1+ i ;

π

д)

∫cos zdz

, L –

отрезок прямой,

соединяющий точки z1 =

и

L

У

2

z2 = π + i.

2.

Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интегралы:

1

Т

а)

L∫

e z

dz, L

:

z −1

= 12 ;

z2 +

z

Б

б)

∫

ez

cos

πz

dz,

L :

z

=1 ;

Н

2

L

z

+ 2z

й

в)

∫

dz

,

L :

z

= 5 ;

и

L z2 +16

р

г)

cos(z + πi)

dz, L :

z

∫

= 3 ;

z(ez +

2)

L

о

д)

dz

∫

, L :

z

= 4 .

2

L (z + 9)(z + 9)

т

и

з

ЗАНЯТИЕ № 3

п

РЯДЫ ЛОРАНА

1

1.

Разл жить функции в ряд Лорана в указанных областях:

а)

f

(оz)=

1

, 2 <

z

< 3;

е

(z − 2)(z − 3)

Р

б)

f (z)=

, 1 <

z

< ∞;

z2 + z

в) f

(z)=

2z + 3

, 1 <

z

< 2 ;

z2 + 3z + 2

г) f

(z)=

2

, 1 <

z + 2

< 3.

z2 −1

2.

Разложить функции в ряд Лорана в окрестности точки z = 0 :

а)

f (z) =

sin z

;

z2

1

б) f (z)= z3e z ;

У

в)

f (z) = 1 − cos z

;

Т

z2

г)

f (z)=

1− e−z

Н

z3 .

ЗАНЯТИЕ № 4

й

НУЛИ ФУНКЦИИ. ВЫЧЕТЫ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮБВЫЧЕТОВ

1. Найти вычеты в особых точках для следующих функций:

t g z

р

а)

f (z)=

;

о

и

z2

−

π

z

4

т

ez

1

и

б) f (z)= z3e z

;

f (z)=

з

в)

3

(z

−1)

;

z

г)

f (z) = z2

sin 1 ;

п

z

f (оz)=

д)

z

− 2)2

.

Р

(z

+1)3 (z

2.

С помощью вычетов вычислить следующие интегралы:

еez dz

L :

z

а)

∫

,

= 2 ;

L z3 (z +1)

б)

∫

zdz

,

L :

z +1

= 4 ;

L ez +3

в) ∫

zdz

,

L :

z

= 3 ;

L (z −1)2 (z

+ 2)

г) ∫

z +1

dz,

L :

z

= 4 ;

L z2 + 2z −

3

У

д) ∫ sin πz dz,

L :

z

=

.

3

L z2 − z

Т

ОТВЕТЫ

БН

й

ЗАНЯТИЕ № 2

р

π

1

(e

2

и

1. a)– 2 , б)

4

−1)(1+i), в)0, г) e cos1−1+ ie sin1 , д) −(1+i sh1).

т

πi

2. а) 0, б) πi , в) 0, г)

i

2 πch π, д) −

.

и

о3

45

з

−1

о

ЗАНЯТИЕ № 3