FA

Теорема 5.2. Если M ортогональное дополнение к L в пространстве H, то M подпространство пространства H и имеет место ортогональное разложение

т.е. для любого x H справедливо представление

x = y + z, y L, z M.

Доказательство. Из определения M следует, что оно является линейной системой в H (докажите этот факт!). Остается лишь проверить, что M замкнуто. Пусть zk M и zk → z. Так как zk y, y L, то

(z, y) = ( lim zk, y) = lim (zk, y) = 0,

k→∞ k→∞

т.е. z M. Значит M замкнутое линейное множество, т.е. подпространство в H.

Из теоремы 5.1 следует, что любой x H единственным образом представим в виде (5.11), где z L, т.е. z M. Значит, имеет место ортогональное разложение (5.16).

Рассмотрим теперь более общие, чем (5.16), ортогональные разложения пространства H.

Если в H имеется конечное или счетное множество {Lk} попарно ортогональных подпространств Lk, то аналогично теоремам 5.1 и 5.2 можно установить, что любой элемент x H может быть при любом m > 1 представлен в виде

причем yk и z находятся по элементу x H единственным образом

и

yk = P rLk x, k = 1, . . . , m.

Так как все слагаемые в (5.17) взаимно ортогональны, то по теореме Пифагора получаем

m

X

kxk2 = kP rLk xk2 + kzk2,

k=1

41

а отсюда неравенство

m

X

kP rLk xk2 6 kxk2 < ∞, m N.

k=1

Переходя, если необходимо, к пределу при m → ∞, получаем неравенство Бесселя (для подпространств):

k

где суммирование распространяется на все номера k подпространств

P

Lk. Отсюда следует, что сумма P rLk x имеет смысл для любого

k

x H и в том случае, когда слагаемых бесконечное множество.

Определение 5.15. Система взаимно ортогональных подпространств Lk H называется полной, если в H не существует элемента, отличного от нуля, ортогонального всем Lk.

Теорема 5.3. Для того, чтобы ортогональные подпространства Lk образовывали ортогональное разложение пространства H, т.е. чтобы

k

необходимо и достаточно, чтобы эта система подпространств Lk была полной.

Доказательство.

а) Необходимость. Пусть подпространства Lk образуют ортогональное разложение (5.19) пространства H. Тогда, с одной стороны,

P

имеем представление x = PrLk x, а с другой согласно доказан-

k

ному выше (см. (5.17) и затем переход к сумме по всем k)

k

является нулевым. Значит система ортогональных подпространств {Lk} полна в H.

42

б) Достаточность. Пусть система подпространств {Lk} полна.

5.4Ортогональные системы элементов и базисы

Рассмотрим частный случай проведенного выше разложения бесконечномерного гильбертова пространства H на ортогональные подпространства. Именно, будем считать, что каждое из подпространств Lk одномерно и порождено нормированным элементом (т.е. элементом, имеющим норму, равную единице) ϕk.

Определение 5.16. Конечная или счетная система элементов {ϕk} H называется ортогональной, если

(ϕk, ϕm) = 0, k 6= m.

Если, кроме того, элементы ϕk нормированы и потому

(ϕk, ϕm) = δkm,

то эта система называется ортонормированной.

Ортогональная система элементов называется полной, если в H не существует элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы.

Из теоремы 5.3 получаем следующий важный результат.

Теорема 5.4. Для того чтобы любой элемент x H был представлен своим разложением Фурье по элементам ортонормированной системы {ϕk}, т.е. в виде

k=1

43

необходимо и достаточно, чтобы эта система была полной.

Числа αk = (x, ϕk) называют коэффициентами Фурье; они, очевидно, находятся однозначно по x H.

Определение 5.17. Полная ортонормированная система элементов гильбертова пространства H называется ортонормированным базисом этого пространства.

Оказывается, что счетный ортонормированный базис может существовать не во всех гильбертовых пространствах, а лишь в так называемых сепарабельных пространствах.

Для ортонормированной системы элементов ϕk H выполнено неравенство Бесселя, следующее из (5.18):

∞

X

k=1

Если в (5.21) стоит знак равенства, т.е. если выполнено уравнение замкнутости

∞

X

k=1

то x H представим своим рядом Фурье (5.20).

Упражнение 5.14. Доказать, что если {ϕk}∞k=1 ортонормированный базис (вещественного, сепарабельного) гильбертова пространства H, то

∞

X

(x, y) = αkβk, αk = (x, ϕk), βk = (y, ϕk), x, y H.

k=1

Если в H задана конечная или счетная система линейно независимых элементов gk, то по элементам этой системы можно построить ортонормированную систему, осуществляя так называемый процесс ортогонализации Шмидта следующим образом.

Сначала строим ортогональную систему элементов {ψk}, полагая последовательно

Упражнение 5.15. Убедиться, что при k < n

Из построения видно, что каждый элемент ψk является линейной комбинацией элементов g1, . . . , gk, причем коэффициент при gk (см. (5.23)) равен 1. Поэтому ψk 6= 0 (gk линейно независимы!), и из условия (ψk, ψn) = 0 при k 6= n, а также из (5.24) получаем

λnk = (gk, ψk)/kψkk2.

Наконец, полагая далее

ϕk := ψk/kψkk,

получаем искомую ортонормированную систему {ϕk}. Можно проследить, что линейные оболочки, порожденные системами {gk} и {ψk}, совпадают.

5.5Задача о наилучшем приближении. Изоморфизм всех сепарабельных гильбертовых пространств

Использование ортонормированных систем позволяет легко вычислить проекцию элемента x H на любое конечномерное подпространство L H; существование такой проекции было установлено в теореме 5.1.

Пусть L имеет размерность n и {ϕk}nk=1 ортонормированный базис этого подпространства. Тогда любой y L представим в виде

n

X

y = λkϕk, λk = (y, ϕk).

k=1

Теорема 5.5. Для любого x H в L существует единственный элемент наилучшего приближения

L

45

Доказательство. Существование и единственность такого эле-

мента y установлено в теореме 5.1, см. также (5.15).

n

P

Пусть y˜ = λkϕk произвольный элемент из L. Тогда

Нетрудно видеть, что минимальное значение этого выражения достигается при λk = αk, т.е. на элементе вида (5.25).

Дадим теперь определение сепарабельности гильбертова пространства. Именно в таких пространствах, как упоминалось выше, существуют ортогональные базисы.

Определение 5.18. Гильбертово пространство H называется сепарабельным, если в нем существует счетное плотное множество элементов.

Примером сепарабельных гильбертовых пространств являются пространства Rm, l2, L2([a, b]) и многие другие. Труднее привести пример несепарабельного пространства.

В Rm счетным плотным множеством являются элементы x = (x1, . . . , xm) с координатами xk, являющимися рациональными числами (почему?).

Упражнение 5.16. Доказать, по аналогии с Rm, что пространство l2 сепарабельно.

Указание. Использовать тот факт, что множество

∞

[

Dk, Dk = {x l2 : x = (r1, . . . , rk, 0, 0, . . .)}, k = 1, 2, . . . ,

k=1

где rk рациональные числа, является счетным и плотным в l2.

Теорема 5.6. В сепарабельном гильбертовом пространстве (нетривиальном, т.е. содержащем ненулевые элементы) существует конечный или счетный ортонормированный базис.

46

Доказательство. Так как в H существует счетное плотное множество элементов, то элементы этого множества можно перенумеровать. Выделим из них лишь линейно независимые, а затем подвергнем процессу ортогонализации Шмидта. В итоге получим конечную или счетную ортонормированную систему {ϕk}.

Докажем, что эта система полна в H. Пусть некоторый элемент x H ортогонален всем элементам этой системы, т.е. (x, ϕk) = 0, k = 1, 2, . . .. Так как элементы линейно независимой подсистемы, выделенной вначале из исходной, являются линейными комбинациями элементов ϕk (процесс ортогонализации Шмидта), то x ортогонален всем элементам этой подсистемы, а поэтому и элементам исходного счетного плотного множества (почему?). Отсюда легко установить (см. упражнение 5.9), что x = 0.

В самом деле, пусть εj → 0 (j → ∞), εj > 0, a{gk} H - исходное счетное плотное множество элементов. Тогда для любого x H найдется элемент gkj , такой, что kx − gkj k < εj и (x, gkj ) = 0. Тогда

Введем теперь понятие алгебраического изоморфизма гильбертовых пространств.

Определение 5.19. Два гильбертовых пространства H1 и H2 называются алгебраически изоморфными и изометричными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что:

1)алгебраическим операциям над элементами из H1 соответствуют те же операции над их образами из H2;

2)нормы соответствующих друг другу элементов из H1 и H2 равны.

Теорема 5.7. Всякое бесконечномерное сепарабельное пространство H алгебраически изоморфно и изометрично пространству l2.

Доказательство. В каждом бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H по теореме 5.6 существует счетный ортонормированный базис {ϕk}∞k=1. Поэтому любой элемент x H разлагается в ряд Фурье:

∞

X

x = αkϕk, αk = (x, ϕk).

k=1

47

Сопоставим каждому x H совокупность α := {αk}∞k=1 его коэффициентов Фурье. По уравнению замкнутости имеем

k=1

т.е. α l2.

Нетрудно видеть, что алгебраическим операциям элементов из H при таком соответствии отвечают те же операции их образов в l2. Кроме того, из (5.26) следует, что указанное соответствие изометрично.

Упражнение 5.17. Доказать, что при изоморфизме между H и l2 скалярное произведение любых двух элементов из H и их образов из l2 совпадают, т.е.

∞

X

(x, y) = αkβk = (α, β)l2 , αk = (x, ϕk), βk = (y, ϕk). (5.27)

k=1

Замечание 5.1. В комплексном гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (x, y), когда (y, x) = (x, y), теорема 5.7 также верна. При этом коэффициенты Фурье αk = (x, ϕk) комплексные числа, а вместо (5.27) имеет место равенство

∞

X

(x, y) = αkβk = (α, β)l2 .

k=1

Контрольные вопросы и упражнения

1.Какие операции определены для элементов m-мерного евклидова пространства?

2.Каким законам удовлетворяют операции над векторами в m- мерном евклидовом пространстве?

3.Что называется m-мерным векторным пространством? Какой вид имеет разложение любого элемента в m-мерном векторном пространстве? Как вычисляется норма вектора?

4.Докажите свойства нормы вектора в m-мерном евклидовом пространстве.

48

5.Охарактеризуйте пространство L2([a, b]):

(a)какие элементы принадлежат пространству L2([a, b]);

(b)как вычислить скалярное произведение двух элементов, принадлежащих L2([a, b]);

(c)как вычисляется норма элемента в пространстве L2([a, b]).

6.Докажите неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в пространстве L2([a, b]).

7.Приведите примеры ортонормированных систем в пространствах L2([a, b]); проверьте выполнение свойств ортогональности

инормированности элементов этих систем.

8.Какое пространство называется полным?

9.Какое пространство называется гильбертовым? Приведите примеры гильбертовых пространств.

10.Докажите следующее утверждение: Пусть H - гильбертово пространство. Если последовательность {xk}∞k=1 H сходится к пределу x, то она фундаментальна.

11.Докажите следующее утверждение: Пусть H - гильбертово

пространство. Всякая фундаментальная последовательность

{xk}∞k=1 H ограничена по норме, т.е. M > 0 такое, что kxkk 6 M, k N.

12.Какие элементы гильбертова пространства называются ортогональными?

13.Какое множество называется всюду плотным в гильбертовом пространстве?

14.Докажите справедливость в гильбертовом пространстве следующих утверждений:

(a)скалярное произведение непрерывно относительно своих сомножителей;

(b)элемент, принадлежащий гильбертову пространству и ортогональный каждому элементу из всюду плотного множества, является нулевым.

49

15.Какие элементы называются линейно независимыми? Приведите примеры линейно независимых систем элементов в пространствах Rm, l2, L2([a, b]).

16.Какое подмножество гильбертова пространства называется подпространством?

17.Доказать справедливость тождества параллелограмма для любых элементов гильбертова пространства.

18.Сформулируйте теорему о единственности представления любого элемента гильбертова пространства в виде суммы x = y+z , где y L, z L, L - подпространство гильбертова пространства H.

19.Какой элемент называется проекцией элемента гильбертова пространства на подпространство?

20.Какая система подпространств называется полной в гильбертовом пространстве?

21.Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования ортогонального разложения гильбертова пространства?

22.Какая система элементов называется ортогональной? полной? ортонормированной? ортонормированным базисом?

23.Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования разложения любого элемента гильбертова пространства в ряд Фурье?

24.Для чего и каким образом осуществляется процесс ортогонализации Шмидта?

25.Какое гильбертово пространство называется сепарабельным? Приведите примеры сепарабельных гильбертовых пространств.

26.Докажите, что пространство l2 сепарабельно.

27.Какие гильбертовы пространства называются алгебраически изоморфными и изометричными?

28.Какому пространству алгебраически изоморфно и изометрично всякое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство H?

50