FA
.pdfОпределение 10.4. Будем говорить, что элементы множества M C([a, b]) равномерно ограничены, если существует такая постоянная c > 0, что |x(t)| 6 c, t [a, b] для любых x(t) M.
Определение 10.5. Будем говорить, что элементы из |
M |
|||
C([a, b]) |
равностепенно непрерывны, если для любого ε > 0 |
суще- |
||
|
|
|
˙ ¨ |
|
ствует δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых t, t [a, b], удовле- |
||||
|
˙ |
¨ |
|
|
творяющих неравенству |t |
− t| < δ, имеет место неравенство |
|||
˙ |
¨ |
|
|
|
|x(t) − x(t|) < ε сразу для всех x(t) из M. |
|
Теорема 10.3. (теорема Арцела, см. [15], с. 207-209).
Для того, чтобы множество M C([a, b]) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции из M были:
10. |
равномерно ограничены; |
|
20. |
равностепенно непрерывны. |
10.2Линейные вполне непрерывные операторы
Пусть X, Y - банаховы пространства, A L(X, Y ).
Определение 10.6. Оператор A L(X, Y ) называется вполне непрерывным (или компактным), если он переводит замкнутый единичный шар пространства X в компактное множество пространства Y .
Отметим сразу же, что далеко не всякий оператор A из L(X, Y ) будет вполне непрерывным. Если, например, Y = X и A = I, где Iединичный (тождественный) оператор, то он не является вполне непрерывным, если только X бесконечномерное пространство.
Непосредственно из определения 10.6 вытекает следующее свойство.
Теорема 10.4. Если A L(X, Y ) вполне непрерывен, то любое ограниченное в X множество он переводит в множество, компактное в Y .
Доказательство. Пусть M ограниченное в X множество и kxk 6 R, x M. Возьмём любую последовательность {xn} M, а также последовательность {yn}, yn = Axn. Последовательность элементов {xn/R} принадлежит единичному шару в X. Так как A
101
вполне непрерывен, то {Axn/R} содержит фундаментальную подпоследовательность {Axnk /R}. Но тогда {Axnk } фундаментальная подпоследовательность последовательности y = Axn, т.е. множество
AM := {y Y : y = Ax, x M}
компактно. Множество всех вполне непрерывных операторов далее будем
обозначать символом S(X, Y ). Сформулируем без доказательства некоторые свойства множества S(X, Y ) (доказательства см., напри-
мер, в [15], с. 213-215). |
|
|
Теорема |
10.5. S(X, Y ) |
является подпространством в L(X, Y ). |
|
|
|
Теорема |
10.6. Если X |
или Y конечномерны, то S(X, Y ) = |
L(X, Y ). |
|
|
В частности, всякий линейный функционал f X = L(X, C) вполне непрерывен, так как C одномерное комплексное простран-
ство. То же свойство справедливо при X = L(X, R).
Пусть ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn X, а f1, f2, . . . , fn X . Линейный оператор Pn,
n
X
Pnx := hx, fkiϕk,
k=1
называют конечномерным . Такие операторы ограничены, так как
n |
n |
X |
X |
kPnxk 6 |hx, fki|kϕkk 6 ckxk, c = |
kfkk · kϕkk > 0. |
k=1 |
k=1 |
Кроме того, они вполне непрерывны, так как область их значений конечномерна (n - мерна).
В качестве следствия из этого факта и теоремы 10.5 получаем такой вывод.
Теорема 10.7. Если A = lim An (в метрике L(X, Y )), где An
n−→∞
конечномерные или вполне непрерывные операторы, то A вполне непрерывен.
Весьма полезным является и следующий результат.
102
Теорема 10.8. Пусть A L(X, Y ), B L(Y, Z). Если хотя бы один из этих операторов вполне непрерывен, то вполне непрерывен будет и оператор BA : X −→ Z.
Доказательство. Оно следует из того, что ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное, а вполне непрерывный - ограниченное множество в компактное.
Ещё один факт даёт связь между вполне непрерывными операторами, а также сильно и слабо сходящимися последовательностями.
Теорема 10.9. Пусть {xn} слабо сходится к x0 в X, а A S(X, Y ). Тогда {Axn}∞n=1 сильно сходится к Ax0 Y .
Наконец, напомним, что если A L(X, Y ), то согласно общему
определению сопряженного оператора (см. п. 9.5), оператор A
L(Y , X ) и kA k = kAk.
Теорема 10.10. (теорема Шаудера, см. [15], с. 215). Пусть A
L(X, Y ), где X и Y банаховы пространства. Оператор A вполне
непрерывен, т.е. A S(X, Y ), тогда и только тогда, когда A
S(Y , X ).
10.3Примеры вполне непрерывных операторов
Рассмотрим некоторые примеры вполне непрерывных операторов, действующих в гильбертовых либо банаховых пространствах.
Пример 10.1. Рассмотрим в X = l2 оператор A, действующий в
этом пространстве на любой элемент x = {xk}∞k=1 по закону y = Ax, y = {yk}∞k=1,
∞∞
XX
yk = aklxl, |
|akl|2 < ∞. |
l=1 |
k,l=1 |
Операторы такого вида называют матричными операторами Гильберта – Шмидта.
Как уже упоминалось в примере 7.2 и упражнении 7.3, оператор A ограничен в l2 и
∞
X
kAk 6 c := ( |akl|2)1/2.
k,l=1
Докажем теперь, что A вполне непрерывен. Обозначим через An оператор, переводящий всякий элемент x = {xk}∞k=1 l2 в элемент
103
y = {y1, y2, . . . , yn, 0, 0, . . .}. Так как область значений оператора An конечномерна (n – мерна), то каждый An по теореме 10.6 вполне непрерывен.
Поскольку, кроме того,
∞ |
∞ |
|
X Xl |
|
|
kAn − Ak 6 |
|akl|2 −→ 0 (n −→ ∞), |
|
k=n+1 =1 |
|
|
то по теореме 10.7 оператор A вполне непрерывен. |
|
|
Продолжим рассмотрение примеров. |
|
Пример 10.2. Пусть X = Y = C([a, b]). Рассмотрим интегральный оператор
Z b
(Kx)(t) := K(t, s)x(s) ds (10.1)
a
с непрерывным ядром K(t, s), заданным на квадрате Q := [a, b] ×
[a, b] |
. Пусть |
M := max |
K(t, s) |
|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Q | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возьмем в C([a, b]) единичный шар |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S := {x(t) |
|
|
|
|
max |
| |
x(t) |
| 6 |
1 |
} |
. |
(10.2) |
|||
|
|
C([a, b]) : kx(t)k = a6t6b |
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kKxk = max |
b K(t, s)x(s) ds |
6 max Z |
b |K(t, s)| · |x(s)| ds 6 |
||||||||||||||
Z |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a6t6b a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a6t6b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 (b − a)M max |x(t)| = (b − a)Mkxk 6 (b − a)M.
a6t6b
Отсюда следует, что функции из множества KS := {(Kx)(t) : x(t) S} равномерно ограничены.
Докажем теперь равностепенную непрерывность функций из KS, тогда по теореме Арцела (см. теорему 10.3) множество KS будет компактным и потому оператор K будет вполне непрерывным. Имеем для любой функции y = Kx из KS:
|y(t1) − y(t2)| = |
ab |
K(t1, s)x(s) ds − |
ab |
K(t2, s)x(s) ds |
6 |
|
Z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z b
6|K(t1, s) − K(t2, s)| · |x(s)| ds.
a
104
Тогда по неравенству Коши – Буняковского получаем
Z b Z b
|y(t1) − y(t2)|2 6 |K(t1, s) − K(t2, s)|2 ds · |x(s)|2 ds 6
a a
6 |
|
− |
Za |
b |
, s) − K(t2 |
, s)| |
|
ds · (a6s6b | |
| |
|
(b |
|K(t1 |
|
)2 = |
|||||||
|
|
a) |
|
|
|
2 |
max |
x(s) |
Zb
=(b − a) |K(t1, s) − K(t2, s)|2 ds.
a
Так как непрерывная функция K(t, s) равномерно непрерывна на Q = [a, b] × [a, b], то для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых t1, t2 из [a, b] и любого s [a, b] при |t1 − t2| < δ(ε) выполнено условие |K(t1, s) −K(t2, s)| < ε. Поэтому из предыдущего неравенства имеем
|y(t1) − y(t2)|2 < (b − a)2ε2,
откуда следует равностепенная непрерывность множества KS, и, следовательно, оператор K : C([a, b]) −→ C([a, b]) вполне непрерывен.
Некоторым видоизменением примера 10.2 является следующий пример.
Пример 10.3. Пусть X = Y = L2([a, b]), а оператор K снова является интегральным, задан выражением (10.1) и его ядро обладает прежними свойствами.
Покажем, что K вполне непрерывен как оператор, действующий в L2([a, b]). Пусть S единичный шар в L2([a, b]), т.е.
Z b
S = {x(t) L2([a, b]) : kxk2 = |x(t)|2 dt 6 1}.
a
Рассмотрим произвольную последовательность {xn(t)}∞n=1 из S и последовательность
Z b
yn(t) := (Kxn)(t) = K(t, s)xn(s) ds.
a
Докажем, что функции yn(t) непрерывны на [a, b], а их совокупность {yn(t)}∞n=1 равностепенно непрерывное множество в C([a, b]).
105
В самом деле, |
|
|
|
|
|
|yn(t1) − yn(t2)| 6 Zab |K(t1, s) − K(t2, s)| · |xn(s)| ds 6 |
|
|
|||
6 ( ab |K(t1, s) − K(t2, s)|2 ds)1/2 |
· |
ab |
|xn(s)|2 ds!1/2 |
< |
(10.3) |
Z |
|
Z |
|
|
|
√
< ε b − a,
если только |t1 − t2| < δ = δ(ε), как и в примере 10.2. Далее, множество {yn(t)} равномерно ограничено в C([a, b]), так как
6 |
( ab |
|yn(t)| 6 Zab |K(t, s)| · |xn(s)| ds 6 |
6 |
|
||||
|K(t, s)|2 ds)1/2 |
· |
ab |
|xn(s)|2 ds!1/2 |
(10.4) |
||||
|
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
6 |
ab |K(t, s)|2 ds!1/2 |
6 M(b − a)1/2 |
, |
|
|||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
где M константа из примера 10.2.
Из (10.3), (10.4) по теореме Арцела (теорема 10.3) получаем, что последовательность {yn(t)} компактна в C([a, b]) и потому найдется такая ее подпоследовательность {ynk (t)}, что она равномерно сходится к некоторой функции y0(t) C([a, b]) L2([a, b]). Тогда эта же подпоследовательность {ynk (t)} сходится к y0(t) и в L2([a, b]) (докажите это!). Значит, {yn(t)} компактна в L2([a, b]) и, следовательно,
интегральный оператор K вполне непрерывен в L2([a, b]). |
|
Следующий пример обобщает предыдущие. |
|
Пример 10.4. Пусть снова X = Y = L2([a, b]) и опять рассмотрим интегральный оператор (10.2), однако теперь будем предполагать, что ядро K(t, s) L2(Q), Q = [a, b] × [a, b], т.е. конечен двойной интеграл Лебега:
Z b Z b |
|
|K(t, s)|2 dt ds < ∞. |
(10.5) |
a a |
|
Интегральные операторы с такими свойствами называют
интегральными операторами Гильберта – Шмидта.
106
Докажем, что K вполне непрерывен в L2([a, b]). Так как множество C(Q) непрерывных функций плотно в L2(Q) (см. параграф 3), то найдется последовательность {Kn(t, s)} непрерывных ядер, сходящаяся к K(t, s) в L2(Q), т.е.
Z b Z b
|K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt −→ 0 (n −→ ∞).
aa
Введем аналогично (10.1) интегральные операторы Kn с ядрами
Kn(t, s):
|
(Knx)(t) := Zab Kn(t, s)x(s) ds. |
|
|||
По неравенству Коши – Буняковского имеем |
|
|
|||
|(Kx)(t) − (Knx)(t)|2 = |
Zab[K(t, s) − Kn(t, s)]x(s) ds 2 |
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
6 Za |
|K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds · |
Za |
|x(s)|2 ds. |
|
Тогда
Z b
k(Kx)(t) − (Knx)(t)k2 = |(Kx)(t) − (Knx)(t)|2 dt 6
a
Z b Z b
6|K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt · kxk2
aa
и потому
Z b Z b
kK − Knk2 6 |K(t, s) − Kn(t, s)|2 ds dt −→ 0 (n −→ ∞).
aa
Значит, оператор K является пределом (в метрике L(L2([a, b]))) последовательности {Kn} интегральных операторов с непрерывными ядрами, которые вполне непрерывны, как это следует из рассмотрения примера 10.3. Поэтому согласно теореме 10.7 интегральный
оператор K (Гильберта – Шмидта) сам вполне непрерывен. |
|
107 |
|
Контрольные вопросы и упражнения
1.Какое множество в банаховом пространстве называется компактным?
2.Какое множество в банаховом пространстве называется бикомпактным?
3.Верно ли утверждение: предел каждой сходящейся последовательности, принадлежащей компактному множеству в банаховом пространстве, принадлежит этому множеству?
4.Верно ли утверждение: предел каждой сходящейся последовательности, принадлежащей бикомпактному множеству в банаховом пространстве, принадлежит этому множеству?
5.Сформулируйте понятие ε-сети множества в банаховом пространстве.
6.Сформулируйте критерий компактности множества в банаховом пространстве.
7.Сформулируйте критерий компактности множества в пространстве C([a, b]).
8.Какой оператор называется компактным?
9.Верно ли утверждение: любой линейный ограниченный оператор является компактным? Верно ли обратное утверждение?
10.Приведите примеры компактных операторов в пространствах:
1.l2;
2.C([a, b]);
3.L2([a, b]).
108
11Теория Рисса – Шаудера линейных уравнений второго рода
Здесь будет сначала рассмотрена абстрактная теория линейных уравнений второго рода в произвольном банаховом пространстве, а затем приложения этой теории к интегральным уравнениям Фредгольма и Вольтерра.
11.1Общие результаты
Пусть A вполне непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X, т.е. A S(X). Рассмотрим линейное уравнение вида
x − Ax = y, y X, |
(11.1) |
где y заданный, а x X искомый элемент. Уравнения вида (11.1) называют линейными уравнениями второго рода (этот термин заимствован из теории интегральных уравнений). Теория уравнений вида (11.1) построена Ф. Риссом и Ю. Шаудером.
Переходя к изложению этой теории, рассмотрим наряду с неоднородным уравнением (11.1) соответствующее ему однородное уравнение
z − Az = 0, |
(11.2) |
а также еще два уравнения: так называемое сопряженное неоднородное уравнение
f − A f = ϕ, ϕ X , f X , |
(11.3) |
и отвечающее ему однородное уравнение
ψ − A ψ = 0. |
(11.4) |
Напомним, что согласно теореме Шаудера (теорема 10.10) оператор A , действующий в пространстве X , также является вполне непрерывным.
Сначала познакомимся со следующим утверждением.
Теорема 11.1. Пусть A S(X). Тогда множества значений R(I− A) и R(I − A ) операторов I − A и I − A замкнуты и потому
являются подпространствами в X и X соответственно.
109
Доказательство. Оно будет проведено лишь частично (см. [15], с.220 – 221). Пусть последовательность {yn} R(I − A), т.е. она из множества значений оператора I − A. Тогда найдутся такие xn X, что xn − Axn = yn. Пусть yn −→ y0 при n −→ ∞. Покажем, что y0 R(I −A) при дополнительном условии, что последовательность {xn} ограничена. Но тогда {Axn} компактна и потому xn = yn +Axn тоже компактна, так как {yn} сходится, а из {Axn} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Значит, из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность {xnk }∞k=1, сходящуюся к некоторому элементу x0. Переходя к пределу по элементам подпоследовательности {nk} в соотношении xnk − Axnk = ynk , получим в силу непрерывности A, что x0 − Ax0 = y0, т.е. y0 R(I − A).
Таким образом, первое утверждение теоремы доказано при введенном выше предположении ограниченности {xn}. Аналогично доказывается утверждение теоремы относительно R(I − A ).
Сформулируем теперь основные теоремы теории Рисса Шауде-
ра.
Теорема 11.2. (первая теорема Фредгольма). Пусть A линейный вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
10. уравнение (11.1) имеет решение при любой правой части
y; |
|
20. |
уравнение (11.2) имеет только тривиальное решение; |
30. |
уравнение (11.3) имеет решение при любой правой части |
ϕ; |
|
40. |
уравнение (11.4) имеет только тривиальное решение. |
|
|
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [15], с. 221 – 222.
Здесь будут даны лишь небольшие пояснения.
Во-первых, утверждения 10 и 20, а также 30 и 40 идентичны, одно в пространстве X, а второе в X . Далее, если уравнение (11.1) имеет решение при любом y X, то область значений R(I−A) оператора I −A совпадает со всем пространством и потому по теореме Банаха (см. теорему 7.9) существует ограниченный обратный (I −A)−1, заданный на всем пространстве X. В этом случае Ker (I − A) = {0} и потому уравнение (11.2) имеет лишь тривиальное решение.
Обратно, если уравнение (11.2) имеет лишь тривиальное решение, то Ker (I −A) = {0}. Так как R(I −A) есть подпространство в X (по
110