FA

с непрерывным в квадрате [a, b] × [a, b] ядром K(t, s).

Пользуясь определением (9.4) сопряженного оператора, имеем

!

Z b Z b

(Kx, y) = K(t, s)x(s)ds y(t)dt =

aa

!

Z b Z b

= x(s) K(t, s)y(t)dt ds =

aa

!

Z b Z b

= x(t) K(s, t)y(s)ds dt =: (x, K y),

aa

откуда следует, что

Z b

(K y)(t) = K(s, t)y(s)ds.

a

Таким образом, сопряженный оператор K является интегральным оператором с ядром

K (t, s) = K(s, t),

Упражнение 9.4. Проверить, что в комплексном гильбертовом пространстве L2([a, b]) оператор, сопряженный к интегральному оператору (9.6), определяется формулой

Z b

(K y)(t) = K(s, t)y(s)ds,

a

т.е. его ядро K (t, s) транспонировано и комплексно сопряжено по отношению к K(t, s):

K (t, s) = K(s, t).

9.2Самосопряженные операторы

Пусть H комплексное гильбертово пространство.

Определение 9.1. Оператор A L(H) называется самосопряженным (или эрмитовым), если A = A , т.е. если

91

Как уже упоминалось, самосопряженные операторы часто встречаются при исследовании прикладных задач методами функционального анализа. Рассмотрим некоторые примеры самосопряженных операторов и установим их некоторые свойства.

Если H = Cm (см. упражнение 9.3), то матрица A = (aij)mi,j=1 является самосопряженным оператором, если

aji = aij, i, j = 1, 2, . . . , m.

Как следует из упражнения 9.4, интегральный оператор (9.6) является самосопряженным в (комплексном) пространстве L2([a, b]) тогда и только тогда, когда для его ядра K(t, s) выполнено условие

K(s, t) = K(t, s).

Теорема 9.1. Пусть A, B самосопряженные операторы в H, α, β R. Тогда αA + βB самосопряженный оператор в H.

Доказательство. Оно основано на прямом вычислении, связанном с проверкой свойства (9.7) для линейной комбинации операторов:

Тогда для любого x H, kxk 6 1, имеем

|(Ax, x)| 6 kAk · kxk2 6 kAk,

92

и поэтому

cA 6 kAk.

Докажем теперь противоположное неравенство. Воспользуемся тождеством (проверьте его справедливость!)

4 Re(Ax, y) = (A(x + y), (x + y)) − (A(x − y), (x − y)).

Отсюда и из неравенства

|(Ax, x)| 6 cAkxk2, x H,

следующего из (9.8), получаем, что

4| Re(Ax, y)| 6 cA(kx + yk2 + kx − yk2) = 2cA(kxk2 + kyk2).

Тогда при kxk 6 kyk 6 1 имеем

| Re(Ax, y)| 6 cA.

Полагая здесь y = Ax/kAxk, Ax 6= 0, получим

Определение 9.2. Будем говорить, что самосопряженный оператор A неотрицателен, и писать A > 0, если

(Ax, x) > 0, x H.

Упражнение 9.5. Проверить, что если A1 > 0, A2 > 0, λ1 > 0, λ2 > 0, то

λ1A1 + λ2A2 > 0.

Определение 9.3. Пусть A, B самосопряженные операторы из L(H). Будем писать A > B, если A − B > 0, т.е.

(Ax, x) > (Bx, x), x H.

93

Действительно, для любого x H имеем y = P x L,

P y = P 2x = y = P x.

Свойство 9.3. Оператор P самосопряжен:

P = P .

В самом деле, пусть x1 = y1 + z1, x2 = y2 + z2 – произвольные элементы из H, y1, y2 L, z1, z2 L . Тогда

(P x1, x2) = (y1, y2 + z2) = (y1, y2) = (y1 + z1, y2) = (x1, P x2),

Свойство 9.5. Равенство kP xk = kxk выполнено тогда и только тогда, когда x L.

Этот факт очевиден из теоремы Пифагора (см. (9.9)).

Свойство 9.6. Для любого X H

(P x, x) 6 kxk2,

причём равенство здесь достигается только лишь в случае, когда P x = x, т.е. x L.

Действительно,

(P x, x) 6 kP xk · kxk2 = kxk2.

Если же (P x, x) = (x, x), то согласно (9.10) kP xk2 = kxk2 и по свойству (9.5) x L.

Приведём ещё критерий того, что оператор P является ортопроектором: для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

условия

P 2 = P = P .

95

9.4Взаимоотношения между подпространствами

иортопроекторами

Здесь будут приведены без доказательства основные факты, описывающие связи между подпространствами гильбертова пространства H и отвечающими им ортопроекторами (подробности см. в [15], с. 195-199).

Теорема 9.4. Пусть P1 ортопроектор на подпространство L1 H, а P2 на подпространство L2. Тогда следующие условия эквивалентны, т.е. из выполнения любого из них следует справедливость всех других:

Доказательство этого утверждения предлагается провести самостоятельно.

Определение 9.4. Проекторы P1 и P2 называются ортогональны-

т.е. P2 P1.

Здесь использовано общее свойство

(AB) = B A

для операторов из L(H); предоставляем доказать это свойство самостоятельно.

Теорема 9.5. Пусть P1 ортопроектор на подпространство L1, а P2 на подпространство L2. Подпространства L1 и L2 ортогональны тогда и только тогда, когда P1 P2.

Теорема 9.6. Произведение P1P2 двух проекторов P1 и P2 является проектором в том и только том случае, когда они перестановочны : P1P2 = P2P1.

Теорема 9.7. Пусть Pi проектор на подпространство Li, i = 1, 2. Пусть P1 и P2 перестановочны. Тогда P1P2 проектор на

Теорема 9.8. Сумма конечного числа операторов проектирования, т.е. P1 + ... + Pn, является оператором проектирования тогда и только тогда, когда эти операторы попарно ортогональны: PkPl = 0 при k 6= l.

Теорема 9.9. Пусть P1, P2, . . . , Pn попарно ортогональные проекторы, причем Pi проектирует H на Li. Тогда P1 + . . . + Pn проектирует H на ортогональную сумму подпространств

L1 L2 . . . Ln = nk=1Lk.

Теорема 9.10. Разность P1 − P2 проекторов P1 и P2 является проектором тогда и только тогда, когда P1 > P2. В этом случае P1 −P2 есть проектор пространства H на ортогональную разность

L1 L2.

9.5Общее определение сопряженного оператора

До сих пор рассматривались сопряженные (и самосопряженные) операторы, действующие в одном и том же и притом гильбертовом пространстве H. Эту ситуацию можно значительно обобщить, считая, во-первых, что оператор действует из одного пространства в другое, а во-вторых, операторы действуют не в гильбертовых, а в банаховых пространствах (см. например [15], стр.186-188).

Пусть A L(X, Y ), где X и Y банаховы пространства. Составим выражение hAx, fi, где x X, Ax Y , f Y , и введем функционал ϕ(x) формулой

|ϕ(x)| = |hAx, fi| 6 kAxk · kfk 6 kAk · kfk · kxk.

97

ный ограниченный оператор A формулой ϕ = A f. Этот оператор A L(Y , X ) и называется оператором, сопряженным к оператору

A L(X, Y ).

более общем, чем соответствующая формула (9.3) для случая A

L(H). При этом снова, как и в лемме 9.1, справедливо свойство kA k = kAk.

Контрольные вопросы и упражнения

1.Докажите утверждение: Пусть в гильбертовом пространстве H

определен линейный ограниченный оператор A. Тогда сопряженный оператор A является линейным.

2.Какой оператор называется самосопряженным?

3.Какому условию должен удовлетворять самосопряженный оператор, определенный в пространстве H = Cm?

4.Является ли самосопряженным произвольный оператор, определенный в пространстве H = Rm?

5.Какой оператор называется неотрицательным? положительно определенным?

6.Докажите утверждение: сумма неотрицательных операторов является неотрицательным оператором.

7.Какой оператор называется ортопроектором?

98

10 Компактные множества и вполне непрерывные операторы

В математическом анализе хорошо известна теорема Больцано – Вейерштрасса, в которой утверждается, что из любой ограниченной последовательности вещественных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Эта теорема справедлива и в любом конечномерном банаховом пространстве, однако в бесконечномерном пространстве она уже не имеет места.

В самом деле, если X = H бесконечномерное гильбертово пространство и {ek}∞k=1 H ортонормированный базис, то эта последовательность ограничена, но ни она, ни любая её подпоследовательность не являются сходящимися (kek −ejk2 = 2, k, j N, k 6= j).

Свойство, выражаемое теоремой Больцано – Вейерштрасса, весьма важно и в бесконечномерных пространствах. Поэтому представляет смысл выделить случаи, когда оно справедливо.

10.1Компактные множества в банаховых пространствах

Перейдём к введению соответствующих понятий.

Определение 10.1. Множество M банахова пространства X называется компактным, если из каждой последовательности {xn}∞n=1 M можно выделить фундаментальную подпоследовательность, т.е. найдётся такая последовательность {xnk }∞k=1 {xn}∞n=1, что

kxnk − xnj k −→ 0 (k, j −→ ∞).

Так как X банахово, то xnk → x0 X (k −→ ∞), однако не обязательно x0 M.

Определение 10.2. Множество M банахова пространства X называется бикомпактным, если из каждой последовательности {xn}∞k=1 X можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }∞k=1, предел x0 которой принадлежит M.

Отметим, что всякое бикомпактное множество M ограничено. В самом деле, если оно не ограничено, то найдётся {xn} M, такая, что kxnk > n, n = 1, 2, . . ., а тогда из этой последовательности нельзя

99

выделить сходящуюся подпоследовательность, так как предел норм любой подпоследовательности элементов будет равен +∞.

Заметим ещё, что компактное множество в банаховом пространстве бикомпактно тогда и только тогда, когда оно (множество) замкнуто.

Сейчас будет сформулирован критерий компактности множества. Этот критерий основан на следующем важном определении.

Определение 10.3. Пусть X банахово пространство, M X и пусть ε > 0. Множество Mε называется ε - сетью множества M, если для любой точки x M найдется такая точка xε Mε, что kx − xεk < ε.

Геометрически ε - сеть Mε для множества M это объединение шаров Sε(xε) радиуса ε с центрами в точках xε множества Mε, такое, что

Приведем далее без доказательств ряд утверждений, связанных с понятием компактного множества в банаховом пространстве.

Теорема 10.1. (Теорема Хаусдорфа, см. [15] с. 203-205). Множество M X компактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 в X существует конечная ε - сеть.

Из этой теоремы, которая дает критерий компактности множества M X, можно вывести такое следствие.

Теорема 10.2. Если при любом ε > 0 для множества M X существует компактная ε - сеть Mε X, то множество M компактно.

Отметим еще два свойства компактных множеств: 10. Компактное множество ограничено.

20. Всякое компактное множество сепарабельно, т.е. в нем существует счетное плотное подмножество.

Критерии компактности множеств в конкретных банаховых пространствах могут иметь формулировки, отличные от теоремы Хаусдорфа. Здесь будет приведен лишь результат для пространства

X = C([a, b]).

100