FA

Теорема 12.2. Если A = A 6= 0, A S(H), то A имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля.

Доказательство. Так как A самосопряженный оператор, то по теореме 9.3 kAk = supkxk=1 |(Ax, x)|. Тогда по определению супремума найдется последовательность элементов {xn}, kxnk = 1, такая, что |(Axn, xn)| −→ kAk при n −→ ∞. Поскольку A 6= 0, то числа (Axn, xn) 6= 0 для всех достаточно больших n (иначе было бы A = 0). Поэтому найдется подпоследовательность {xnk }∞k=1 последовательности {xn}, такая, что (Axnk , xnk ) −→ λ при k −→ ∞, где

λ = kAk либо λ = −kAk.

Для этой подпоследовательности имеем следующую оценку

kAxnk − λxnk k2 = (Axnk − λxnk , Axnk − λxnk ) =

= kAxnk k2−2λ(Axnk , xnk )+λ2 6 2λ(λ−(Axnk , xnk )) −→ 0 (k −→ ∞).

(Здесь при выводе учтено, что kxnk k = 1, kAxnk k2 6 kAk2 = λ2, а также тот факт, что (Axnk , xnk ) R.)

Таким образом, ynk := Axnk − λxnk −→ 0 (k −→ ∞). Однако последовательность {xnk } ограничена (kxnk k = 1), и вследствие свойства полной непрерывности оператора A последовательность {Axnk } компактна. Значит, существует ее сходящаяся подпоследовательность, которую обозначим {Axm}. Но тогда xm = λ−1(Axm−ym) также сходится, так как ym −→ 0 при m −→ ∞, где ym элементы

Опираясь на установленный результат, сформулируем следующее утверждение.

Теорема 12.3. Пусть m и M числа, определенные формулами (12.7). Тогда M является наибольшим, а m наименьшим собственным значением оператора A.

Доказательство. Оно проводится по той же схеме, что и в теореме 12.2, с заменой kAk на M либо на m.

Отметим в качестве следствия из двух предыдущих теорем такой факт: для вполне непрерывного оператора A = A норма kAk = |λ1|, где λ1 наибольшее по модулю собственное значение оператора A.

121

Перейдем теперь к формулировке и доказательству основных результатов о свойствах решений задачи (12.5).

Теорема 12.4. (теорема Гильберта – Шмидта). Если A

вполне непрерывный самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H, то задача (12.5) имеет конечное либо счетное количество конечнократных ненулевых собственных значений и ортонормированную систему собственных элементов, отвечающих этим собственным значениям, а также, возможно, точке нуль. При этом для любого элемента x H его образ Ax разлагается в ряд Фурье по ортонормированной системе собственных элементов оператора A, отвечающих ненулевым собственным значениям.

Если Ker A = {0}, то ненулевых собственных значений счетное множество, а собственные элементы, отвечающие этим собственным значениям, образуют ортонормированный базис в H.

Если Ker A 6= {0}, то совокупность собственных элементов, отвечающих ненулевым собственным значениям, а также нулю, образует ортонормированный базис в H.

Доказательство. Пусть ϕ1 нормированный собственный элемент задачи (12.5), отвечающий наибольшему по модулю собственному значению λ1 оператора A (см. теоремы 12.2, 12.3). Рассмотрим подпространство

H1 := {x H : (x, ϕ1) = 0}

тех элементов из H, которые ортогональны к одномерному подпространству {tϕ1}, t C, натянутому на первый собственный элемент ϕ1. Так как

(Ax, ϕ1) = (x, Aϕ1) = (x, λ1ϕ1) = λ1(x, ϕ1) = 0, x H1,

то отсюда следует, что Ax H1 при x H1, т.е. подпространство H1 инвариантно относительно оператора A. В этом подпространстве оператор A = A|H1 (т.е. сужение оператора A на подпространство H1) снова самосопряжен и вполне непрерывен. По теореме 12.2 оператор A|H1 имеет в H1 собственное значение λ2 (наибольшее по модулю) и отвечающий ему собственный элемент ϕ2, kϕ2k = 1. Так будет, в частности, если A|H1 не является тождественно нулевым оператором. Очевидно, по построению |λ2| 6 |λ1|, так как соответствующий супремум |λ2| = kA|H1k теперь находится на более узком множестве, чем все пространство H, т.е. на H1.

122

Рассмотрим далее подпространство

H2 := {x H1 : (x, ϕ2) = 0}

и снова повторим предыдущие рассуждения. Здесь далее возникает одна из двух возможностей. Первая возможность: процесс оборвется, т.е. найдется номер n такой, что на соответствующем подпространстве Hn элементов, ортогональных к собственным элементам ϕ1, ϕ2,

. . ., ϕn, оператор A оказывается равным нулевому оператору. В этом

n

случае для любого x H элемент y := x − (x, ϕk)ϕk Hn, так

k=1

Другая возможность состоит в том, что процесс не оборвется ни на каком шаге. В результате возникает последовательность собственных значений {λk}∞k=1 и отвечающая ей ортонормированная последовательность {ϕk}∞k=1 собственных элементов оператора A. При этом в последовательности {λk}∞k=1 собственные значения λk повторяются столько раз, какова размерность собственного подпространства Lλk . Согласно свойству 12.4 кратность такого собственного значения, т.е. dim Lλk , конечна для любого k и потому λk −→ 0 при k −→ ∞.

Воспользуемся теперь тем фактом, что, как видно из доказательства теоремы 12.2, kAk2 = |λmax|2. Применяя его к пространству Hn, имеем

XX

= λ2n+1 x − (x, ϕk)ϕk, x − (x, ϕj)ϕj

k=1 j=1

nn

XX

− (x, ϕj)(x, ϕj) + (x, ϕk)(x, ϕj)(ϕk, ϕj) =

k=1

Продолжая далее доказательство теоремы, заметим, что если Ker A = {0}, то ни на каком шаге процесс не оборвется, причем в этом случае на области значений R(A) оператора A существует обратный оператор A−1. Тогда из (12.8) либо (12.9) имеем

∞

X

x = (x, ϕk)ϕk, x H,

k=1

т.е. ортонормированная система собственных элементов {ϕk}∞k=1 оператора A в этом случае является ортонормированным базисом в H.

Пусть теперь H0 := Ker A 6= {0}. Тогда это множество является подпространством в H, ортогональным к замыканию He линейной оболочки собственных элементов, отвечающих ненулевым собственным значениям, так как для любого элемента ϕ0 H0 имеем Aϕ0 = 0 и потому

(Aϕ0, ϕk) = (ϕ0, Aϕk) = (ϕ0, λkϕk) = λk(ϕ0, ϕk) = 0, k = 1, 2, . . . .

Иными словами, имеет место ортогональное разложение

H = H0 He.

Из соотношения (12.9), записанного в виде

∞ !

X

A x − (x, ϕk)ϕk = 0,

k=1

124

следует, что элемент

∞

X

x0 := x − (x, ϕk)ϕk H0.

k=1

Так как подпространство H0, как и все H, сепарабельно, то в нем, согласно теореме 5.6, существует ортонормированный базис {ϕ0,j}∞j=1,

∞

P

и тогда x0 = (x0, ϕ0,j)ϕ0,j. Поэтому

j=1

∞∞

Как следует из проведенного доказательства, в этом разложении одна или обе суммы могут быть и конечными.

Теорема полностью доказана.

Контрольные вопросы и упражнения

1.Какое число называется собственным значением линейного ограниченного оператора в комплексном банаховом пространстве? Какой элемент называется собственным элементом, отвечающим этому собственному значению?

2.Докажите утверждение: совокупность собственных элементов, отвечающих собственному значению линейного ограниченного оператора в комплексном банаховом пространстве, дополненная нулевым элементом, является линейной системой.

3.Являются ли собственные элементы линейного оператора в банаховом пространстве, отвечающие различным его собственным значениям, линейно зависимыми? линейно независимыми?

4.Как вычислить собственные значения линейного оператора, действующего в пространстве Cm?

5.Являются ли собственные значения любого линейного компактного самосопряженного оператора, действующего в комплексном гильбертовом пространстве, комплексными? вещественными?

125

6.Какому отрезку принадлежат собственные значения любого линейного компактного самосопряженного оператора, действующего в комплексном гильбертовом пространстве?

7.Сколько собственных элементов, отвечающих ненулевому собственному значению, имеет любой линейный компактный самосопряженный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве?

8.Чему равны наибольшее и наименьшее собственные значения любого линейного компактного самосопряженного оператора, действующего в комплексном гильбертовом пространстве?

9.Сформулируйте теорему Гильберта-Шмидта.

126

13Об основных принципах функционального анализа

В этом параграфе остановимся на некоторых основных фактах, которые являются „краеугольными камнями” в функциональном анализе и потому играют важную роль в развитии функционального анализа как современной науки высочайшего математического уровня. Эти факты иногда называют основными принципами функционального анализа.

13.1Принцип открытости отображения

Формулировка этого принципа (теоремы) очень проста и понятна, она имеет следующий вид.

При непрерывном линейном отображении одного банахова пространства на другое образ каждого открытого множества является открытым множеством.

Таким образом, согласно этому утверждению, любой оператор A L(X, Y ) переводит любое открытое множество U X в открытое множество AU := {y Y : y = Ax, x U} пространства

Y .

Следствиями из этого принципа являются такие утверждения.

10. Если линейный оператор A осуществляет непрерывное взаимно однозначное отображение банахова пространства X на банахово пространство Y , то обратный оператор A−1 непрерывен.

Эта теорема, которую называют теоремой Банаха об обратном операторе, уже была приведена в параграфе 7 (см. теорему 7.9).

20. Пусть в пространстве X введены две нормы: kxk1 и kxk2, причем kxk1 6 ckxk2. Если по обеим нормам пространство X полно, т.е. банахово, то справедливо обратное неравенство kxk2 6 eckxk1 и потому нормы kxk1 и kxk2 эквивалентны, т.е.

Эквивалентные нормы часто используются при исследовании конкретных проблем: может оказаться, что свойства изучаемых операторов, функционалов либо каких-либо других объектов в одной из норм обладают дополнительными полезными свойствами. Например, оператор может оказаться самосопряженным в одной норме, порожденной скалярным произведением, и не обладать этим свойством в другой.

127

13.2Принцип продолжимости линейного функционала

С этим принципом уже было знакомство в данном курсе лекций. Напомним еще раз соответствующие факты.

10. Если на подпространстве L банахова пространства X задан линейный ограниченный функционал, то он может с сохранением нормы быть расширен (распространен) до линейного ограниченного функционала на всем пространстве X.

Это теорема Хана – Банаха, см. теорему 8.2. Частными случаями этой теоремы являются такие утверждения.

20. Пусть L (замкнутое) подпространство банахова пространства X и x0 6 .LТогда существует линейный ограниченный функционал hx, fi, равный нулю на L и такой, что f(x0) = 1.

30. Для любого элемента x0 X найдется линейный функционал hx, fi такой, что kfk = 1 и hx, fi = kx0k.

Отметим, что утверждения 20 и 30 обсуждались в начале п. 8.3.

13.3Принцип равномерной ограниченности

Этот принцип и следствия из него не встречались ранее в данном курсе лекций. Приведем соответствующие формулировки.

10. Пусть на банаховом пространстве X задано семейство непрерывных функционалов {fα(x)}, каждый из которых обладает свойствами выпуклости, т.е. (вспомните аксиомы нормы!)

а) fα(x) > 0; б) fα(λx) = |λ|fα(x);

в) fα(x + y) 6 fα(x) + fα(y).

Если при каждом x X справедливо неравенство

sup fα(x) 6 k(x) < ∞,

α

то существует такая константа c, что

fα(x) 6 ckxk = kfαk 6 c, α.

Принцип равномерной ограниченности позволяет для доказательства ограниченности семейства функционалов проверять это свойство на элементах банахова пространства X.

На принципе равномерной ограниченности основаны следующие утверждения.

128

20. Если последовательность линейных ограниченных функционалов {fn}∞n=1 слабо сходится к функционалу f, т.е. hx, fni −→ hx, fi при n −→ ∞ для любого x X, то предельный функционал линеен и ограничен.

30. Теорема Банаха – Штейнгауза. Для того, чтобы последовательность линейных ограниченных функционалов слабо сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась на каком-либо плотном в пространстве множестве и чтобы последовательность норм этих функционалов была ограничена.

В качестве приложения теоремы Банаха – Штейнгауза сформулируем соответствующие утверждения для последовательности операторов (см. [15], с. 128 – 129).

40. Если последовательность {Anx} ограничена при каждом фиксированном x X, то последовательность норм {kAnk} ограничена.

13.4Принцип сжимающих отображений

Этот принцип и его модификации играют существенную роль как при качественном исследовании линейных и нелинейных уравнений в банаховых либо метрических пространствах, так и при приближенных вычислениях на основе метода итераций (см., например, [10], с. 9 – 10, а также [15], с. 389 – 393).

Рассмотрим эту проблему более подробно и приведем формулировки и доказательства соответствующих утверждений.

Пусть в банаховом пространстве X действует оператор (отображение) F , не обязательно линейный, с областью определения D(F ) X и областью значений R(F ) X. Будем предполагать, что множество D(F ) ∩ R(F ) не является пустым.

Определение 13.1. Точка x X называется неподвижной точкой отображения F , если

Заметим, что к нахождению решений уравнения

x = F (x), x X,

сводятся многие задачи, возникающие в приложениях.

129

Упражнение 13.1. В пространстве X = R найти неподвижные точки операторов (отображений):

Упражнение 13.2. Найти в вещественном пространстве X = C([0, 1]) неподвижные точки отображения

Определение 13.2. Будем говорить, что отображение F , действующее в банаховом пространстве X, является сжимающим на множестве M X, если существует константа q (0, 1) такая, что

Теорема 13.1. (Теорема Банаха). Пусть оператор F отображает замкнутое множество M X в себя, т.е.

и на этом множестве является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия q. Тогда в множестве M оператор F имеет единственную неподвижную точку x , т.е. выполнено уравнение

(13.1).

Если x0 M произвольный элемент, а

то последовательность {xn} M и xn −→ x при n −→ ∞. Кроме того, справедлива оценка скорости сходимости xn к x :

Доказательство. Очевидно, все элементы последовательности {xn} принадлежат M в силу (13.3). Введем число θ := kx1 − x0k =

130