FA

5Абстрактное гильбертово пространство

Цель этого параграфа познакомиться с основными понятиями абстрактных бесконечномерных пространств элементов, в которых введено понятие скалярного произведения и нормы. Теорию этих пространств построил выдающийся математик Д. Гильберт. Предварительно рассмотрим соответствующее пространство функций, квадратично суммируемых по отрезку вещественной оси.

5.1Основные определения и свойства пространства L2([a, b])

Рассмотрим на отрезке [a, b] R совокупность суммируемых с квадратом по Лебегу комплекснозначных измеримых функций x(t), т.е. таких, для которых конечен интеграл

Множество функций, удовлетворяющих условию (5.1), обозначим через L2([a, b]). Заметим сразу же, что L2([a, b]) является обобщением на непрерывный случай множества элементов из пространства l2, при этом выражение для суммы ряда при вычислении нормы в l2 (см. (4.14), (4.16)) заменяется интегрированием по отрезку [a, b].

Отметим еще одно новое обстоятельство. Очевидно, что если какие-либо две функции x(t) и xe(t) из L2([a, b]) отличаются друг от друга на множестве меры нуль, то для них интегралы (5.1) совпадают. Такие функции назовем эквивалентными, и в качестве элементов пространства L2([a, b]) будем далее рассматривать классы эквивалентных функций.

Проверим, что при естественном определении алгебраических операций множество L2([a, b]) линейная система, т.е. для него выполнены свойства a) − ж) п. 4.1 и другие, следующие из них. Очевидно, что если x(t) L2([a, b]), то при любом λ C функция λx(t) L2([a, b]). Менее очевидно, что если x(t) и y(t) принадлежат L2([a, b]), то их сумма также принадлежит L2([a, b]).

Докажем этот факт. Заметим сначала, что x(t)+y(t) измеримая функция. Кроме того, очевидно, что

2 |x(t)| |y(t)| 6 |x(t)|2 + |y(t)|2.

31

Как и ранее, будем говорить, что элементы x(t) и y(t) из L2([a, b])

ортогональны, если

(x(t), y(t))L2([a,b]) = 0.

Такое определение ортогональности функций уже встречалось в курсе математического анализа. Если, в частности, [a, b] = [−π, π], то ортогональной и нормированной (т.е. ортонормированной) системой элементов (функций) из L2([−π, π]) является система

Другим примером ортонормированной системы на отрезке [−1, 1] является система полиномов Лежандра {Pk(t)}∞k=0, т.е. система

Как известно из курса математического анализа, система (5.5) является не только ортонормированной, но и полной в L2([−π, π]). Оказывается, система полиномов Лежандра (5.6) также является полной в L2([−1, 1]).

Упражнение 5.2. Убедиться, что система полиномов Лежандра является ортонормированной в L2([−1, 1]). Проверить свойство ортогональности для нескольких первых функций (5.6)

Сопоставим элементу x(t) L2([−π, π]) его ряд Фурье по системе элементов (5.5), т.е.

Упражнение 5.3. Доказать, что для x(t) и коэффициентов Фурье (5.7) выполнено условие замкнутости

Аналогичное уравнение замкнутости можно установить и для элемента x(t) L2([−1, 1]) при его разложении в ряд по полиномам Лежандра. Общие результаты по этим вопросам будут рассмотрены ниже.

5.2Определение абстрактного гильбертова пространства

Рассмотрение предыдущих пространств Rm, l2, L2([a, b]) показало, что эти линейные системы обладают одним важным свойством: в них помимо операций сложения элементов и умножения их на скаляр определена также операция скалярного умножения элементов, а норма (длина) элемента равна квадратному корню из скалярного произведения элемента самого на себя.

Оказывается, что эту ситуацию можно рассматривать в общем виде, и возникает важный класс пространств, имеющих самые широкие приложения. Эти пространства называются (абстрактными)

гильбертовыми пространствами.

Определение 5.1. Пусть H вещественная линейная система и пусть любым двум ее элементам x и y сопоставлено (вещественное) число (x, y), причем выполнены следующие свойства:

а) (x, y) = (y, x);

Если один из сомножителей равен нулю, то скалярное произведение равно нулю. Однако обратное утверждение неверно уже в евклидовом пространстве Rm, так как существуют ненулевые взаимно ортогональные элементы.

34

Определим норму элемента из H по закону

p

kxk := (x, x), x H, (5.8)

и проверим, что для этой нормы выполнены те же свойства, которые уже ранее были отмечены в упражнении 4.1 для элементов из Rm. В самом деле, из (5.8) и свойства г) скалярного произведения следует, что kxk > 0 и kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Далее

pp

kλxk = (λx, λx) = λ2(x, x) = |λ| · kxk.

Установим теперь неравенство Коши-Буняковского

Для этого рассмотрим квадратный трехчлен

ϕ(λ) := (λx + y,λx + y) = λ2(x, x) + 2λ(x, y) + (y, y) =

= λ2kxk2 + 2λ(x, y) + kyk2.

Так как ϕ(λ) = kλx + yk2 > 0 при всех λ R, то его дискриминант неположителен, откуда и следует (5.9).

Теперь легко доказать неравенство треугольника для нормы (5.8):

kx + yk2 = ϕ(1) = kxk2 + 2(x, y) + kyk2 6

6 kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2.

Отсюда и получаем, что

kx + yk 6 kxk + kyk, x, y H.

Определение 5.2. Будем говорить, что норма в линейной системе элементов порождена скалярным произведением, если в этой системе задано скалярное произведение любых двух элементов, а норма выражается по формуле (5.8).

Рассмотрим произвольную последовательность элементов

{xk}∞k=1 H.

Определение 5.3. Последовательность {xk}∞k=1 H называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если kxk − xmk →

0 (k, m → ∞).

35

Определение 5.4. Пространство H называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность {xk}∞k=1 имеет

предел x := lim xk H, т.е.

k→∞

Упражнение 5.5. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность {xk}∞k=1 ограничена по норме, т.е. M > 0 такое, что

kxkk 6 M, k N.

Определение 5.5. Гильбертовым пространством (вещественным) называется полное линейное (вещественное) пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

Далее абстрактное гильбертово пространство будем обозначать буквой H (в честь создателя теории этих пространств, выдающегося математика Д. Гильберта, 1862-1943).

Конкретными примерами гильбертовых пространств являются уже рассмотренные выше пространства Rm, l2, L2([a, b]).

5.3Ортогональность, проекция элемента на подпространство, ортогональные разложения гильбертова пространства

Введем понятие ортогональности элементов, которое уже встречалось ранее на примерах.

Определение 5.6. Два элемента x, y H называются ортогональными, x y, если

(x, y) = 0.

Упражнение 5.6. Доказать следующие свойства элементов из H:

1)Нулевой элемент 0 H ортогонален любому x H;

2)x x только в том случае, когда x = 0;

3)если x y1, y2, . . . , . . . , yn, то при любых λk

n

X

x λkyk.

k=1

36

Свойство 3) здесь означает, что если x ортогонален каждому элементу множества {yk}nk=1 H, то он ортогонален и любому элементу

линейной оболочки

( n )

X

λkyk

k=1

этого множества.

Упражнение 5.7. Доказать, что скалярное произведение непрерывно относительно своих сомножителей, т.е. если xk → x, yk → y при k → ∞, то

(xk, yk) → (x, y) (k → ∞).

Упражнение 5.8. Доказать, что если x yk, k = 1, 2, . . . , и yk →

y(k → ∞), то x y.

Указание. Воспользоваться свойством непрерывности скалярного произведения (упражнение 5.7).

Определение 5.7. Множество E H называется всюду плотным в H, если x H и ε > 0 найдется такой элемент xε E, что kx − xεk < ε.

Простейшим примером всюду плотного множества является множество Q всех рациональных чисел в множестве R.

Упражнение 5.9. Доказать, что если x H ортогонален каждому элементу y из всюду плотного в H множества E, то x = 0.

Определение 5.8. Замыканием E множества E H называется множество всех элементов из H, представимых в виде предела какой-либо последовательности элементов из E.

В частности, само E входит в E, так как для любого x E в качестве xk → x можно взять xk = x (стационарная последовательность).

Определение 5.9. Подмножество E H называется замкну-

тым, если E = E.

Определение 5.10. Элементы конечной или бесконечной системы {xk} H называются линейно независимыми, если ни один из

37

них не является линейной комбинацией конечного числа остальных элементов системы. Это означает, что из условия

n

X

λkxk = 0,

k=1

где λk произвольные числа из R (или C), следует, что все λk = 0, k = 1, . . . , n.

Упражнение 5.10. Привести примеры линейно независимых си-

Если элементы {xk} H являются линейно независимыми, то замыкание линейной оболочки элементов этой системы образует подпространство в H, порожденное этими элементами.

Упражнение 5.11. Доказать,что если система {xk} H состоит из взаимно ортогональных элементов, то они линейно независимы.

Определение 5.12. Элемент x H называется ортогональным подпространству H1 H, x H1, если (x, y) = 0 для любого y H1. Два подпространства H1 и H2 гильбертова пространства H называются ортогональными, H1 H2, если

(x, y) = 0, x H1, y H2.

Два ортогональных подпространства имеют лишь один общий элемент нулевой (докажите это свойство).

Рассмотрим теперь весьма важный (и хорошо известный в Rm) вопрос о проекции любого элемента на подпространство гильбертова пространства. Предварительно установим следующее вспомогательное утверждение.

Упражнение 5.12. Доказать, что для любых элементов x,y из H справедливо тождество параллелограмма:

Очевидно, это тождество является обобщением элементарной теоремы из геометрии о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. Основываясь на тождестве (5.10), установим следующий факт.

38

Теорема 5.1. Пусть L подпространство гильбертова пространства H. Тогда любой элемент x H представим единственным образом в виде

Доказательство. Если x L, то можно положить y = x, z = 0. Если же x / L, то kx − yk > 0 при любом y L, а тогда и

y L

Из определения точной нижней грани, т.е. инфимума, следует, что для любого n N существует элемент yn L такой, что

Выбирая любые n и m, а также элементы x − yn и x − ym и пользуясь тождеством (5.10) для этих элементов, будем иметь

k2x − (yn + ym)k2 + kyn − ymk2 =

(5.14)

= 2(kx − ynk2 + kx − ymk2) < 2(d2n + d2m).

Так как L подпространство, то 12 (yn + ym) L и

1

kx − 2 (yn + ym)k > d.

Тогда из (5.13), (5.14) имеем

kyn − ymk2 < 2(d2n + d2m) − 4d2 −→ 0 (n, m −→ ∞),

т.е. последовательность {yn}∞n=1 L является фундаментальной. Так как H полное пространство, то существует

y = lim yn,

n→∞

а так как L замкнуто, то y L. При этом в силу (5.13)

kx − yk = lim kx − ynk 6 d.

n→∞

Здесь, однако, знак „<” невозможен (почему?), и тогда

39

Отсюда следует, что инфимум (5.12) достигается на элементе y L. Положим z := x−y и докажем что z L, т.е. z ортогонален любому элементу u L. В самом деле, при любом λ R элемент y + λu L,

и тогда, учитывая, что kzk = kx − yk = d, имеем

kx − (y + λu)k2 = kz − λuk2 = d2 − 2λ(z, u) + λ2kuk2 > d2.

Отсюда следует, что при λ > 0

(z, u) 6 λ2 kuk2.

Так как λ может быть как угодно малым, то (z, u) 6 0. Заменяя в проведенных рассуждениях u L на −u L, будем иметь неравенство (z, −u) 6 0, т.е. (z, u) > 0. Окончательно получаем, что

(z, u) = 0, u L, т.е. z L.

Докажем теперь единственность представления (5.11). Если имеется еще одно равенство x = y˜ + z,˜ y˜ L, z˜ L, то из соотношения x = y + z = y˜ + z˜ следует, что y − y˜ = z˜ − z = 0, так как y − y˜ L, а z˜ − z L.

Определение 5.13. Если для любого элемента x H имеет место его представление в виде (5.11), т.е. x = y + z, y L, z L, то говорят, что y есть проекция элемента x на подпространство L и обозначают y = P rLx.

При доказательстве предыдущей теоремы было установлено, что P rLx есть элемент наилучшего приближения в подпространстве L,

т.е. kx − yk = d = inf kx − y˜k. Как установлено, этот элемент нахо-

y˜ L

дится по элементу x единственным образом.

Упражнение 5.13. Пусть L одномерное подпространство, порожденное элементом e H, kek = 1. Доказать, что

P rLx = (x, e)e.

Определение 5.14. Ортогональным дополнением к подпространству L в H называется множеством M всех элементов из H, ортогональных к L:

M := {x H : x L}.

40