КМ - Maple

Вариант № 4

Ответ: 4 (π + 2).

7.Найти массу квадратной пластины со стороной a, если плотность пластины в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до одной из

вершин квадрата и равна 0 в центре квадрата.

Ответ: 43 a2.

8. Вычислить x2 + y2 dxdydz, где область Ω ограничена поверхностями x2 +

Ω

+ y2 = z2, z = 1.

Ответ: π6 .

9.Найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1 . Вычислить массу, если тело однородно, а плотность равна .

Ответ: 16 , 6 .

10. Найти длину дуги пространственной кривой x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t

при 0 < t < +∞.

Ответ: √3.

81

5.7Лабораторная работа № 7 «Дифференциальные уравнения»

Вариант № 1

1. Найти общее решение уравнения xy − y = ln y .

Ответ: y = Cx − ln C, y = ln x + 1.

2. Найти решение дифференциального уравнения y 3 − y e2x, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

3.За 30 дней распалось 5 % первоначального количества радиоактивного вещества.

Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

Ответ: 200 дней.

4. В баке находятся 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно

равно?

Ответ: 20 минут, 3.68 кг.

5.Решить систему дифференциальных уравнений

7.Для системы

x˙ = (4 − 3y)x, y˙ = (−2 + x)y

построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям x(0) = 3, y(0) = 1 и x(0) = 2, y(0) = 0.5, если t [0, 60].

8.Построить векторное поле, определяемое уравнением (x2 + y2)y = −4x, в области x (−3, 3), y (−3, 3).

9. Исследовать, устойчиво ли решение x = −t2, y = t системы

x˙ = y2 − 2ty − 2y − x, y˙ = 2x + 2t2 + e2t−2y .

Ответ: решение устойчиво.

зить решение в момент времени t0 , где t0 [0, 4].

82

Вариант № 2

1.Найти общее решение уравнения y = xy − y 2.

Ответ: y = Cx − C2, 4y = x2.

2.Найти решение дифференциального уравнения (x + 2y)y = 1, удовлетворяющее

начальному условию y(0) = −1.

Ответ: y = x2 − 1.

3.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с, через 4 с скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь может

пройти лодка до остановки?

Ответ: 50 с, 15 м.

4.Найти кривые на плоскости, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3a2.

Ответ: y = 2xa2 + Cx2.

5.Преобразовать дифференциальное уравнение yIV + 2y + y = 0 к системе дифференциальных уравнений первого порядка и решить полученную систему.

v = (C2 − 3C3 + C4x) sin x + (−C1 − 3C4 − C3x) cos x, где z = y , u = y , v = y .

6.На отрезке t [0, 6] построить график численного решения системы

x˙ = −(x + y)y, z˙ = (x + y)x,

удовлетворяющего начальным условиям x(0) = 1 y(0) = 0.

7.Для системы

x˙ = −y − x2, y˙ = x − y2

построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям x(0) = = 0.8, y(0) = 1 и x(0) = −0.8, y(0) = 0.8, если t [0, 8].

8.Построить векторное поле, определяемое системой

x˙ = x(1 − y),

y˙ = 0.3y(x − 1).

в области x (−1, 2), y (−1, 2).

9. Выяснить, при каких значениях параметра a нулевое решение уравнения y +

+ 2y + ay + 2y = 0 асимптотически устойчиво.

Ответ: a > 1.

10. Получить анимацию решения уравнения переноса ut + 2ux = 0 , удовлетворяющего начальному условию u(x, 0) = e−4(x−2)2 и граничному условию u(0, t) = 0. На каждом кадре изобразить решение в момент времени t0 , где t0 [0, 1].

83

Вариант № 3

1.Найти общее решение уравнения y 2 + xy = y2 + xy .

Ответ: y = C ex, y = C e−x +x − 1.

2.Найти решение дифференциального уравнения x2y − cos 2y = 1, удовлетворяющее условию y(+∞) = 9π/4.

Ответ: y = arctg x − 2 + 2π x

3.Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой

толщиной в 2 м?

Ответ: 98 %.

4.Найти кривые на плоскости, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2.

Ответ: xy = a2 + Cy2.

5.Преобразовать дифференциальное уравнение y + y = 4 sin x к системе дифференциальных уравнений первого порядка и решить полученную систему.

Ответ: y = (C1−2x) cos x + C2 sin x, z = (C2−2) cos x −(C1−2x) sin x, где z = y .

6.На отрезке t [0, 4π] построить график численного решения системы

x˙ = −(x2 + y2)y, z˙ = (x2 + y2)x,

удовлетворяющего начальным условиям x(0) = 0 y(0) = 2.

7.Для системы

x˙ = −y,

y˙ = x + (0.1 − x2)y

построить фазовые траектории, соответствующие начальным условиям x(0) = 1, y(0) = 1 и x(0) = 0.1, y(0) = 0.1.

8.Построить векторное поле, определяемое системой

x˙ = xy + 4,

y˙ = x2 + y2 − 17.

в области x (−6, 6), y (−6, 6).

9.Исследовать, устойчиво ли нулевое решение системы

x˙ = ex − e−3z ,

y˙ = 4z − 3 sin (x + y),z˙ = ln (1 + z − 3x).

Ответ: решение неустойчиво.

10. Получить анимацию решения уравнения теплопроводности ut = uxx , удовлетворяющего начальному условию u(x, 0) = 0 и граничным условиям u(0, t) = 0, u x(1, t) = 1. На каждом кадре изобразить решение в момент времени t0 , где t0 [0, 2].

84

Вариант № 4

1.Найти общее решение уравнения y − y = x.

Ответ: y = C1 ex +C2 e−x −x.

2.Найти периодическое решение уравнения x¨ + x˙ + x = sin 2t.

Ответ: x = −133 sin 2t − 132 cos 2t.

3. За какое время вытечет вся вода из бака диаметром 1.8 м и высотой 2.45 м через отверстие в дне диаметром 6 см? Ось цилиндра вертикальна. Считать, что вода вытекает со скоростью 0.6√2gh м/с, где g = 10 м/с2, h — высота уровня

жидкости над отверстием.

Ответ: 17.5 минут.

4. Найти траектории, ортогональные к линиям семейства y2 = C ex +x + 1.

Ответ: 3x = C |y| − y2, y = 0.

9.Выяснить, при каких значениях параметра a нулевое решение системы

x˙ = 2√x + y − 2 ex+y , y˙ = sin ax + ln (1 − 4y)

асимптотически устойчиво по первому приближению.

Ответ: a > −8.

10. Получить анимацию решения волнового уравнения utt = 4uxx , удовлетворяющего начальным условиям u(x, 0) = sin2 πx, ut(x, 0) = 0 и граничным условиям u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. На каждом кадре изобразить решение в момент времени t0 , где t0 [0, 4].

85

6Анализ задач теоретической механики, математического анализа и МСС

6.1Кривошипно-шатунный механизм

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C , а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схема механизма приведена на рисунке.

Принять OA = 35 см, AC = 45 см, ωOA = 4 рад/с — угловая скорость кривошипа OA , εOA = 8 рад/с — угловое ускорение кривошипа OA .

Решение

>restart:

>with(plots):

with(plottools):

>draw1 := proc(phi) local

OA, AB, AC, h, psi,

point1, point2, point3, point4,

pointA, pointB, pointC, lineOA, lineAB, кривошип, шатун, ползун,

шарнирO, шарнирA, шарнирB, textA, textB, textC; OA := 35; AB := 70; AC := 45; h := .35;

point1 := [h*cos(phi+Pi/2), h*sin(phi+Pi/2)];

point2 := [h*cos(phi+Pi/2)+OA*cos(phi), h*sin(phi+Pi/2)+OA*sin(phi)];

point3 := [point2[1]+2*h*cos(phi+3*Pi/2), point2[2]+2*h*sin(phi+3*Pi/2)];

point4 := [h*cos(phi+3*Pi/2), h*sin(phi+3*Pi/2)];

86

кривошип := polygon([point1,point2,point3,point4], linestyle=1, thickness=2);

pointA := [OA*cos(phi), OA*sin(phi)]; lineOA := line([0, 0], pointA, color=red,

linestyle=3); psi := arcsin(OA*sin(phi)/AB);

pointB := [pointA[1]+AB*cos(psi), 0]; pointC := [pointB[1]-(AB-AC)*cos(psi),

pointB[2]+(AB-AC)*sin(psi)]; lineAB := line(pointA, pointB, color=red,

linestyle=3); point1 := [pointA[1]+h*sin(psi),

pointA[2]+h*cos(psi)]; point2 := [pointB[1]+h*sin(psi),

pointB[2]+h*cos(psi)]; point3 := [pointB[1]-h*sin(psi),

pointB[2]-h*cos(psi)]; point4 := [pointA[1]-h*sin(psi),

pointA[2]-h*cos(psi)];

шатун := polygon([point1, point2, point3, point4], linestyle=1, thickness=2);

шарнирO := disk([0, 0], 3.5*h, color=green); шарнирA := disk(pointA, 3.5*h, color=green); шарнирB := disk(pointB, 3.5*h, color=green); h := 5*h;

point1 := [pointB[1] + 2*h, pointB[2] + h]; point2 := [pointB[1] + 2*h, pointB[2] - h]; point3 := [pointB[1] - 2*h, pointB[2] - h]; point4 := [pointB[1] - 2*h, pointB[2] + h];

ползун := polygon([point1, point2, point3, point4], linestyle=1, color=magenta, thickness=1);

h := 3*h;

textA := textplot([pointA[1]+h, pointA[2]+h, ’A’]); textB := textplot([pointB[1]+h, pointB[2]+h, ’B’]); textC := textplot([pointC[1]+h, pointC[2]+h, ’C’]); display(lineOA, шарнирO, lineAB, шарнирA, шарнирB,

ползун, textA, textB, textC, polygon([[0, 0], [-h, -h], [h, -h]],

linestyle=1, thickness=2), disk(pointC, h/5, color=green), scaling=constrained);

end proc:

87

> draw := proc(phi) local

OA, AB, AC, h, psi,

point1, point2, point3, point4,

pointA, pointB, pointC, lineOA, lineAB, кривошип, шатун, ползун,

шарнирO, шарнирA, шарнирB, textA, textB, textC;

кривошип := polygon([point1,point2,point3,point4],

шатун := polygon([point1, point2, point3, point4], linestyle=1, thickness=2);

шарнирO := disk([0, 0], 3.5*h, color=green); шарнирA := disk(pointA, 3.5*h, color=green); шарнирB := disk(pointB, 3.5*h, color=green); h := 5*h;

point1 := [pointB[1] + 2*h, pointB[2] + h]; point2 := [pointB[1] + 2*h, pointB[2] - h]; point3 := [pointB[1] - 2*h, pointB[2] - h]; point4 := [pointB[1] - 2*h, pointB[2] + h];

88

ползун := polygon([point1, point2, point3, point4], linestyle=1, color=magenta, thickness=1);

h := 3*h;

textA := textplot([pointA[1]+h, pointA[2]+h, ’A’]); textB := textplot([pointB[1]+h, pointB[2]+h, ’B’]); textC := textplot([pointC[1]+h, pointC[2]+h, ’C’]); display(lineOA, кривошип, шарнирO,

lineAB, шатун, шарнирA, шарнирB, ползун, textA, textB, textC,

polygon([[0, 0], [-h, -h], [h, -h]], linestyle=1, thickness=2),

disk(pointC, h/5, color=green), scaling=constrained);

end proc:

>draw1(Pi/2);

draw(Pi/2);

89

>N_frames := 100:

for i from 0 to N_frames do phi := i*6*Pi/N_frames; p[i] := draw(phi);

end do:

>display(seq(p[i], i=0..N_frames), insequence=true, scaling=constrained,

view=[-37..115, -45..45]);

Так как катет, лежащий напротив угла в 30◦ градусов, равен половине гипотенузы, то AB = 2 , OA = 70 см. Найдем скорость точки A . Точка A принадлежит кривошипу OA , который вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной оси (шарнира O ). Значит ее скорость можно найти по формуле Эйлера

VA = ωh,

где h = OA — расстояние до оси вращения.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки A , перпендикулярно радиусу OA влево (туда, куда показывает ωOA ), так как вращение происходит против часовой стрелки.

>omega[’OA’] := 4: epsilon[’OA’] := 8:

OA := 35: AB := 70: AC := 45: V_размер := 5:

V[’A’] := omega[’OA’]*OA: v1[’x’] := -V[’A’]/V_размер: v1[’y’] := 0:

dxy := 3:

pointA := [0, OA]:

90