Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КМ - Maple

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Вариант № 2

1. Найти корни уравнения	18 − 7x − x2	+	8 − 6x + x2	=		13	.
	8 − 6x + x2		18 − 7x − x2		6

Ответ: −5, 0.

√2x + 1

2.Найти все корни уравнения x + x + 2 = 2 из промежутка [0; 1].

Ответ: 1.

3.Найти число корней уравнения x3 − (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x − abc = 0.

Ответ: 3.

4.Найти сумму√всех положительных корней уравнения (x − 1)2 − (x2 − 2x)3 = 1.

Ответ: 4 + 2.

5.	Найти произведение действительных корней уравнения																					1	+		1		=		10	.
5.	Найти произведение действительных корней уравнения																					2	+	(x + 2)		2	=	9		.
	Ответ: −3.																					x		(x + 2)				9
	Ответ: −3.
6.	Решить систему уравнений:
		x2 + 2y2				= 17,
	x2 − 2xy = −3.								√		√			,	−	√		√			.
	Ответ: (3; 2),							(−3; −2),	3	;	5		3			3	; −	5		3
	Ответ: (3; 2),							(−3; −2),	3	;		3				3	; −		3
7.	Решить систему уравнений:
		3			15
				+		= 2,
			xy	+	yz	= 2,
		15		+	5	= 2,



		5			3
	yz				zx
	zx + xy = 2.




					−		−	−
	Ответ:				(	1;		3; 5), (1; 3; 5).

8.Найти точки пересечения кривых x3 + y3 = 19, x2y + xy2 = −6. Построить графики.

Ответ: (3; −2),

(−2; 3).

Найти точку пересечения прямой

x − 1

y + 3

z − 1

и плоскости 2x + 3y

−

− 5z + 19 = 0.

Ответ: (3; 0; 5).

10.

Найти решение рекуррентного уравнения fn+1 = fn + n + 1,

f0 = 0.

Ответ: fn =

+ n

Вариант № 3

Ответ: 0.

9 −

7 +

= 4.

x + 1

Найти корни уравнения

√

Найти все корни уравнения

x + 1

x + 2

из промежутка [0; 2].

+ 1

Ответ: 1.

x + 2

3.Найти число положительных корней полинома x5 − 3x4 − 4x3 − x2 + 3x4 + 4.

Ответ: 2.

4.Найти сумму всех корней уравнения (x2 − 3x)2 − 2(x − 3)2 = 2.

Ответ: 4.

√				√
	x	2	+ x + 4 =		3x	2	+ 5x + 9
5. Найти произведение всех корней уравнения 2

(включая комплексные корни).

Ответ: 7.

6.Решить систему уравнений:

= 3,

(x + y)2

+ (x

−y)2 = 20.

x + y

−

Ответ: (3; 1),

(3;

1),

;

√65

;

√65

7.Решить систему уравнений

x − ay + a2z = a3, x − by + b2z = b3,

x − cy + c2z = c3,

где a = b, b = c, c = a.

Ответ: (abc; ab + bc + ca; a + b + c).

8.Найти точки пересечения кривых x2 + y2 = 34, x + y + xy = 23. Построить графики.

Ответ: (3; 5), (5; 3).
9. Найти точки пересечения прямой								x	=	y − 4	=	z + 2	и параболоида z = x2 +
9. Найти точки пересечения прямой									=	−3	=		и параболоида z = x2 +
+ y2 − 2.	32			4		54		2		−3	5
Ответ: (2; 1; 3),			,		,		.
Ответ: (2; 1; 3),		13	,	13	,	13	.

10.Найти решение рекуррентного уравнения fn+2 = −2fn+1 + 3fn, f0 = 0, f1 = 4.

Ответ: fn = 1 − (−3)n.

Вариант № 4

Ответ: 0, 641 .

= 0.

x − 22

Найти корни уравнения

15 4√

√

2.Найти все корни уравнения √x + 1 + √2x 2 + 7 √x + 1 − √2x 2 = 8 из про-

межутка (−1; 1).

Ответ: 0.

3.Найти число корней полинома 2x3 + x2 + x − 4, имеющих отрицательную дей-

ствительную часть.

Ответ: 2.

4.Найти√сумму корней уравнения x(x − 1)(x + 1) + x(x + 1)(x + 2) = 3x2 + x + + 18x x − 16.

Ответ: 5.

5. Найти произведение всех ненулевых корней уравнения

x2 − x

x2 − x + 2

x2 − x + 1

−x2 − x − 2

= 1 (включая комплексные корни).

Ответ: 4.

6. Решить систему уравнений:

−

= 0,

x + y − 1

2x − y + 3

7 = 0.

x + y −

−

− 2x − y + 3 2

Ответ: (2;

3).

7.Решить систему уравнений

x + y + z = 0,

2x + 3y + z = 0,

(x + 1)2 + (y + 2)2

+ (z + 3)2 = 14.

−

Ответ: (0; 0; 0), (2;

1).

Найти точки пересечения кривых x2 +y = x+y2,

x+y2 = 6. Построить графики.

Ответ: (2; 2), (−3; −3),

2 +

2 −

; 2 +

2 ;

− 2

√21

Найти точку пересечения плоскостей 2x + y + z = 0,

x − 2y + z = 1,

x − 2y −

− z = −3.

Ответ: (−1; 0; 2).

10.Найти все целочисленные решения уравнения x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3.

Ответ: 3.

5.5Лабораторная работа № 5 «Пределы и производные»

Вариант № 1

x→+∞

Ответ: 1.

√x2

+ 1 −

√x2

−

Вычислить

lim

x .

Вычислить

lim

x + 2

x→2+

4 − x2

Ответ: −∞.

√

3.Доказать, что функции f (x) = 1 + x − 1 и g(x) = 2x при x → 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

4.Исследовать на непрерывность функцию

f (x) = x ,

если x = 0,

sin x

если x = 0

в точке x = 0.

Ответ: функция непрерывна.

5. Определить, какие из пределов lim lim f (x, y),

lim lim f (x, y), lim f (x, y) суще-

→

0 x

→

y 0

0 y

x→0

→

ствуют и вычислить их, если f (x, y) = (x + y) sin

sin

Ответ: не существует, не существует, 0.
√		√		√
√	x − 4 +	√	x) +	√	x	2	− 4x и упростить
6. Найти производную функции f (x) = 4 ln(	x − 4 +		x) +		x		− 4x и упростить

полученное выражение.

√

Ответ: √ x . x − 4

Вычислить

2 ,

если f (x) =

2 sin x tg 2x.

Ответ: 1.

Вычислить

∂f

(x, y),

∂f

(x, y), если f (x, y) = arctg (xy2).

∂x

∂y

Ответ:

2xy

1 + x2y4

9. Найти производную функции f (x, y) = x2 − y2 в точке M (1; 1) в направлении,

составляющем угол 60◦		c осью Ox.
Ответ:	√
	1 − 3.

10.Составить уравнение касательной к параболе y = √x в точке с абсциссой x = 4.

Построить графики.

Ответ: x − 4y + 4 = 0.

11.Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была

наименьшей.

Ответ: 9, 9.

Вариант № 2

1.	Вычислить	lim	1 + x sin x − cos 2x	.
	Ответ: 3.	x→0	sin x2
	Ответ: 3.
2.	Вычислить		1
2.	Вычислить	lim (x + 2) x .

x→0−

Ответ: 0.

3.Проверить, являются ли функции f (x) = cos 3x − cos x и g(x) = 7x2 при x → 0

бесконечно малыми одного порядка малости.

Ответ: да.

4.Исследовать на непрерывность функцию

f (x) = sin

если x = 0,

если x = 0

в точке x = 0.

Ответ: функция разрывна.

Определить, какие из пределов lim lim f (x, y),

lim lim f (x, y),

lim f (x, y) суще-

→

0 x 0

x 0 y

→

x→0

→

x2 + y2 + x − y

ствуют и вычислить их, если f (x, y) =

Ответ: −1, 1,

не существует.

x + y

Найти производную функции

f (x) = tg 2x − ctg 2x

и упростить полученное

выражение.

Ответ:

1 − cos 8x

e2x + √

Вычислить

d3f

если f (x) = ln

(0),

e4x

+ 1 .

Ответ:

dx3

√2.

−

Проверить выполненено ли равенство

∂2f

(0, 0) =

∂2f

(0, 0) для f (x, y) = xy2 .

Ответ: да.

∂y∂x

∂x∂y

Найти полный дифференциал dz от сложной функции z

+ y .

xdx + ydy

Ответ: f

+ y

x2 + y2

10.

+ bx + c, касающейся прямой x = y в точке

Найти уравнение параболы y = x

(1; 1). Построить графики.

Ответ: y = x2 − x + 1.

11.Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Определить, каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапе-

ции была наибольшей.

Ответ: π3 .

Вариант № 3

			x→1 x − 1		− ln x
1.	Вычислить	1			1
1.	Вычислить	1		lim		.
	Ответ: −	1		.

			2
2.	Вычислить	1
				lim	.
				lim	.
			x→0+ sin x2
	Ответ: ∞.

3.Доказать, что функции f (x) = sin 8x и g(x) = arcsin 5x при x → 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

4.Определить характер разрыва функции f (x) = √x arctg x1 в точке x = 0.

Ответ: устранимый разрыв.

5.Исследовать на непрерывность функцию

			xy
		2		,	если x2
f (x, y) =		x2 + y2
	0,				если x2
( ;		y	) = (0; 0)		.
в точке	x

Ответ: функция разрывна.

+y2 = 0,

+y2 = 0

6.Найти производную функции f (x) = cos2 3x и упростить полученное выраже-

ние.

Ответ: −3 sin 6x.

Вычислить

d2f

(π), если f (x) = x2 ln x + cos 2x.

dx2

Ответ: 2 ln π − 1.

∂2f

x2 + x y + 12y2

Вычислить

∂f

(x, y),

(x, y), если f (x, y) =

∂x2

∂x

x + y

Ответ:

x2 + 2xy − 11y2

24y2

(x + y)3

(x + y)2

9.Найти производную функции f (x, y) = ln (x2 + y2) в точке M (x0; y0) в направлении, перпендикулярном к проходящей через эту точку линии уровня функции

f (x, y).	2
Ответ:			.


		x02 + y02

10.Определить, в какой точке кривой y2 = 2x3 касательная перпендикулярна прямой 4x − 3y + 2 = 0. Построить графики.

Ответ: 18 ; −161 .

4					на про-
11. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x) =			√
				x2 + 16
межутке [−3, 3].
Ответ:	4	, 1.

5

Вариант № 4

Вычислить

lim

ln x

x→0 1 + 2 ln sin x

Ответ:

Вычислить

lim sgn cos

Ответ:

−

1.x→2−

Проверить, являются ли функции f (x) = arcsin (x2 − x) и g(x)

= cos x при

x → 0 бесконечно малыми одного порядка малости.

Ответ: нет.

в точке x

= 0.

Определить характер разрыва функции f (x) = (x + 3) x

Ответ: разрыв II рода.

Исследовать на непрерывность функцию

x2 + y2

если x2 + y2 = 0,

f (x, y) =

x4 + y4

в точке

если x2 + y2 = 0

( ;

) = (0; 0)

Ответ: функция непрерывна.

6.Найти производную функции f (x) = 2(sin2 x − 2) ex и упростить полученное выражение.

Ответ: (2 sin 2x − cos 2x − 3)

√

7. Вычислить

x + 1

(0), если f (x) =

√

+ 1

x + 1

Ответ:

8. Проверить, выполнено ли равенство

∂2f

(0, 0) =

∂2f

(0, 0), если

∂y∂x

∂x∂y

x2 − y2

f (x, y) =

если x2 + y2

= 0,

x2 + y2

Ответ:

если x2 + y2

= 0.

нет.

9.Найти производную dxdy в точке M (1; 1) от неявной функции, заданной уравнением 2y = 1 + xy3.

Ответ: −1.

10.Определить, в какой точке параболы y = x2 − 7x + 3 касательная параллельна

прямой 5x + y − 3 = 0. Построить графики.

Ответ: (1; −3).

√

11. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f (x) = cos x sin x на про-


	π
межутке (0,√2		)	√.4
Ответ: 0,	2			3	.
Ответ: 0,	3				.
	3

5.6Лабораторная работа № 6 «Интегралы»

Вариант № 1


1.	1				x + 1
				x22		+ 1 dx.
	Вычислить
	Ответ:		ln(x			+ 1) + arctg x + C.
		2

9dx

2.Вычислить 4 √x − 1 .

Ответ: 2(1 + ln 2).

3.	Вычислить	+∞		2 e	−
		0	x			x	dx.
	Ответ: 2.

4.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x(x − 1)(x − 2) и осью OX .

Ответ: 12 .

5. Вычислить			dxdy	, где Ω — часть круга радиуса a с центром в

	Ω	a2 − x2 − y2

точке O(0; 0), лежащая в первой четверти.

Ответ: aπ2 .

6. Найти площадь части поверхности z2 = 2xy, отсекаемой плоскостями x+ y = 1,

x = 0, y = 0.

√

Ответ: 42 π.

7.Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны соответственно 1 и 3. Зная, что плотность материала пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца, если плот-

ность на внутренней окружности равна единице.

Ответ: 523 π.

+ y + z = 1, = 0

dxdydz

= 0

8. Вычислить

где область Ω ограничена поверхностями x +

(1 + x + y + z)

Ответ:

ln 2

−

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностью

= x.

Ответ:

a2bc.

10. Вычислить (x + y)ds, где C — контур треугольника с вершинами O(0; 0),

A(1; 0), B(0; 1).

√

Ответ: 1 + 2.

Вариант № 2

Вычислить

dx.

√

−

4 + x2

Ответ:

√

arcsin

2 + ln

4 +

Вычислить

sin x cos

x dx.

Ответ:

Вычислить

+∞ cos x

dx.

−∞

x2 + 1

Ответ:

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

xy = a2 и

x + y =

a, где

a > 0.

Ответ:

(15 − 16 ln 2).

Вычислить

x dxdy,

где

Ω —

треугольник с

вершинами

O(0; 0),

A(1; 1),

B(0; 1).

Ответ:

a2y2

Найти

площадь области

Ω = *(x, y) : x

≤ 3a , x ≥ 0, y ≥ 0+.

+ y ≤ x2

√

Ответ:

3 − π).

Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривыми

ay = x2

и x + y = 2a, где a > 0.

Ответ: −

;

a .

Вычислить

xyz dxdydz, где область Ω ограничена поверхностями x2 + y2 +

+ z2 = 1, x = 0,

y = 0,

z = 0.

Ответ:

Найти массу тела, занимающего единичный объем

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

0 ≤ z ≤ 1,

если плотность тела в точке

M (x, y, z) задается формулой

= x +

+ y + z.

Ответ:

10.

Вычислить

ds, где C

— окружность x2 + y2 = ax.

x2 + y2

Ответ: 2a

Вариант № 3

1.	Вычислить				ex sin x dx.
	Ответ:	1	ex(sin x						−	cos x) + C.
	Ответ:	2	ex(sin x							cos x) + C.
		2
2.	Вычислить			1				x2
				0	√ 4 − x
						√					2	dx.
	Ответ:	π		−			3
								.
		3			2			.
		25		+∞ 3x3 + 2x + 3
		25		1									+1
3.	Вычислить															dx.
							x5		+ 3x4					2x3
	Ответ:			ln 3 − 2 ln 2 −											.
	Ответ:	8		ln 3 − 2 ln 2 −										2	.

4.Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y2 = 2px и x2 = 2py.

Ответ: 43 p2.

5.	Ответ: π.	sgn(x2 + y2
5.	Вычислить	sgn(x2 + y2	− 4) dxdy, где Ω = (x, y) : x2 + y2 ≤ 9 .
	Ω
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 1 + x+ y,			x+ y = 1, x = 0,
	y = 0, z = 0.

Ответ: 56 .

7.Найти массу круглой пластины радиусом R , если плотность ее в каждой точке

равна удвоенному расстоянию от этой точки до границы пластины.

Ответ: 23 πR3.

y = x, x = 1, z = 0.

Ω ограничена поверхностями z = xy,

Вычислить

xy2z3 dxdydz, где область

Ответ:

364

Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями

= 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ:

8 a;

8 b;

8 c .

10.

2π.

Вычислить

y2ds, где C — арка циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1 −cos t) при

≤

256

Ответ:

a3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.11.2019126.98 Кб0Каскадная_6_Якута.doc
#
21.05.2015478.88 Кб20Катехизация и богослужение.pdf
#
19.03.201684.15 Кб13Кива А.В. Арабская весна. Свет и тени..docx
#
20.05.201547.67 Кб72кино методичка.docx
#
21.05.2015593.73 Кб19Кластерный анализ.pdf
#
21.05.20151.93 Mб78КМ - Maple.pdf
#
20.05.20155.84 Mб242книга 1.Геол-метод. часть Баранча 23.04.2014 г.doc
#
19.03.20161.47 Mб27Книга Создание эффективных мероприятий.pdf
#
19.03.2016101.38 Кб12Ковтун Н. Судебный контроль законности.doc
#
19.12.2018200.43 Кб7Коды.docx
#
20.05.201531.93 Кб106Колбер Арт-менеджмент.docx