КМ - Maple

Вычислить значение выражения 6

5

1

2

2.

− 3

· 2

.

9

4

17

Ответ: 7.

3.

Задать функцию f (x) = e−

2x

sin 2x

√

и вычислить значение f ( 2) с точностью

до пяти знаков мантиссы.

Ответ: 0.018209.

tg (

+ )

4.

Упростить выражение

ctg (α − π2 )

sin (α − 32π ) − sin (π − α)

.

Ответ: −1.

π

−

α cos (α + 2π) + sin (2π

α)

7. Разложить дробь

x2 − 6x − 1

на простейшие составляющие.

x4 + x2 − 2

Ответ:

2x + 1

1

1

−

−

.

x2 + 2

x − 1

x + 1

10

k2 + k + 1

9. Вычислить произведение

√

с точностью до трёх знаков мантиссы.

=1

4

Ответ: 16.6.

i!

k

+ 1

5.

Построить график неявной функции x2y2 = 2 cos(xy)

на интервале x (−4, 4).

cos x

6.

Построить схематический график функции f (x) =

на интервале (0, +∞).

x

7.

Изобразить координатную сетку эллиптической системы координат.

y cos (xy)

8.

Отобразить векторное поле, определяемое функцией

F (x, y) = x cos (xy) , в

5.

Построить график неявной функции x3 − y3 = 4 sin x

на интервале x (−3, 3).

6.

Построить схематический график функции f (x) =

e−x sin(πx)

на интервале

(0, +∞).

7.

Изобразить координатную сетку полярной системы координат.

8.

Отобразить градиентное поле функции f (x, y) = sin x sin y в области x (−π, π),

y (−π, π).

9.

Построить поверхность r(θ, ϕ) = cos(ϕ), θ (0, 2π),

ϕ (0, π)

в цилиндриче-

ской системе координат.

1. Построить график функции f (x) =

1 − cos x

на участке (

−

π

,

π

) с помощью

x

2

2

толстой зеленой линии.

x

8.

Отобразить векторное поле, определяемое функцией F (x, y) =

x

2

y2

+ 4

,

+y

−

в области x (−2, 2), y (−2, 2).

x2

+ y2 + 4

9.

ской системе координат.r(θ, ϕ) = cos

3

θ ,

θ (0, 2π), ϕ (0, π)

в бисфериче-

8

Построить поверхность

1.

Найти косинус угла между векторами a = (2, 1), b = (1, 3).

√

Ответ:

2

.

2

2

4

0

2

2.

Найти

|

AB−1

|

, если A =

1

3 ,

B =

1

−1 .

заданной матрицы, и применить эту процедуру к матрице A =

−1

3

0

0 .

Ответ: 5.

−3

0

0

1

0

2

отрицательно определенной.

4. Определить, является ли матрица A =

−1

2

x1 + x2 + 2x3 = 0,

2x1 + x2 + 3x3 = 0,

x1 − 2x2 − x3 = 0,

−x1 + 2x2 + x3 = 0.

Ответ: 1.

1

2

3

5

6. Решить матричное уравнение 3

4 · X =

5

9 .

Ответ: X = −1

−1 .

2

3

−12

7. Для матрицы A =

7

6

найти собственные значения и их геометри-

10

−19

10

ческие кратности.

12

−24

13

Ответ: λ1 = −1, k1 = 1, λ2 = 1,

k2 = 2.

8. Линейный оператор A в базисе

f1

= (1, 2),

f2 = (2, 3) имеет матрицу

Af =

2

5

=

4

3 . Линейный оператор

B

в базисе

g1 = (3, 1), g2 = (4, 2)

имеет

матрицу Bg =

4

6

. Найти матрицу оператора A + B в базисе g1, g2.

6

9

Ответ:

23

20

−12

−5 .

2

, 5y, z).

9. Вычислить дивергенцию векторного поля f

= (x

1.

Найти косинус угла между векторами a = (0, 1, 2),

1).

b = (−2, 0,

Ответ:

2

.

5

1

2

−

1

3

2.

Найти ранг произведения матриц A =

2

0

и B =

0

1

11 1

1 .

Ответ: 2.

рица диагональной, и применить эту процедуру к матрицам

0

3

0

1

0

A = 0

0

−1

и B = 0

2 .

0

0

Ответ: true, f alse.

1

3

4. Определить, является ли матрица A = 3

10 положительно определенной.

x1 + 3x2 + 2x3 = 1,

2x1 + 4x2 + 2x3 = 2,

x1 − x2 − 2x3 = 1,

2x1 + x2 − x3 = 2.

Ответ: да.

5 −4 −5 6

6.

Решить матричное уравнение X

·

3 −2

=

−1 2 .

Ответ: X =

3

−2 .

5

−4

−1

4

3

7.

Найти характеристический полином f (λ) для матрицы

−2

5

3 и убе-

диться, что f (A) = Θ.

2

−4

−2

8.

Линейный оператор A в базисе f1 = (8, −6, 7),

f2 = (−16, 7, −13),

f3 = (9, −3, 7)

1

−18

15

имеет матрицу Af = −1

−22

20 . Найти матрицу оператора A в базисе

−25

1

22

g1 = (1, −2, 1), g2 = (3, −1, 2), g3 = (2, 1, 2).

Ответ: 3

−1

−2 .

1

2

2

9.

2

−3

1

2

).

Вычислить дивергенцию векторного поля f

= (2x, y, z

1.

Найти смешанное произведение векторов

=

a = (1, 2, −2), b = (1, −2, 1), c

= (4, −2, −1).

Ответ: 2.

−1

.

2.

Найти (AB)T , если A = 0

1

1

, B =

2

1

2

0

3

−1

1

0

Ответ:

1

0 .

3

2

3.

Реализовать процедуру, вычисляющую сумму модулей всех элементов заданной

матрицы, и применить эту процедуру к матрице A =

0 3 −1

4 −5 2 .

Ответ: 15.

2

4

4.

Определить, является ли матрица A = 4

8 положительно определенной.

Ответ: нет.

5.

Не прибегая к поиску решения, определить, разрешимо ли уравнение

0 −1

1

· X = 2 1

3 .

1

2

1

1

−1

0

1

1

2

1

0

1

Ответ: нет.

1

−i

0

6.

Для матрицы A = i

3

0

получить LU -разложение.

Ответ: L =

i

2

0

4

0

i

0 .

1

0 , U =

2

1

0

0

1

−

0

2

i

1

0

0

4

1

−3

3

7.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A = 3

−5

3 .

Ответ: λ1,2 =

2,

h1 = (1, 1, 0), h2 = (

1, 0, 1), λ3 = 4, h3 = (1, 1, 2).

−

6

−

−

6

4

=

5

3

−

−

2

−1

. Линейный оператор B в базисе g1 = (6,

7), g2 = ( 5, 6) имеет

−

матрицу Bg =

−1

5

. Найти матрицу оператора AB в том базисе, в котором

2

4

1.

c = (1, −1, 1).

Найти смешанное произведение векторов a = (1, 1, 1), b = (1, 2, 3),

Ответ: 4.

1

0

1

2.

Найти значение многочлена f (λ) = λ2

−

2λ + 2 для матрицы A =

1

1

−1 .

1

1

0

0

1

1

Ответ: 0

0

1 .

1

0

0

0

1

0

и B =

0

2

1 .

1

0

−1

Ответ: true, f

alse.

−2

0

отрицательно определенной.

4. Определить, является ли матрица A =

−1

2

Ответ: да.

5. Не прибегая к поиску решения, определить, разрешимо ли уравнение

X · 4 8

=

9 18 .

3

6

2

4

7. Для матрицы A =

1

0

−2

найти собственные значения и их алгебраи-

1

2

2

ческие кратности.

−1

0

0

Ответ: λ1 = −1, p1 = 1, λ2 = 2,

p2 = 2.

15

−11

5

8. Линейный оператор A в базисе e1,

e2, e3

имеет матрицу Ae =

20

−15

8 .

1

1

2 + 3

2

1

−7

2

3

Найти матрицу оператора A в базисе f

8

6

= 2e + 3e

e ,

f

= 3e

+ 4e

+ e ,

f3 = e1 + 2e2 + 2e3.

Ответ: 0

2

0 .

1

0

0

0

0

3

1.

Найти все корни уравнения

24

−

15

= 2.

x2 + 2x − 8

x2 + 2x − 3

Ответ: 0, −2, −1 +

√

66

√66

,

−1 −

.

2

2

2.

Найти все корни уравнения

x +

√

5

√

= 1 из промежут-

2

−

x −

2

− 1

ка [0; 2].

x

1

x

Ответ: 0, 1.

3.

Найти число действительных корней уравнения (x + 1)5 + (x − 1)5 = 32x.

Ответ: 3.

4.

Найти сумму всех положительных корней полинома x6 − 3x4 − 6x2 + 8.

Ответ: 3.

√

√

−

2

x − 4

= x + √x2

−

5.

Найти произведение корней уравнения

x + 4 +

16

6.

(x + 1)(y + 1) =

10,

(x + y)(xy + 1) = 25.

Ответ: (4; 1), (1;

4).

z + xy = 2.

−

−

−

Ответ: (1; 1; 1),

(

2;

2; 2).

Ответ: (3; 1), (1; 3).

9.

Найти точки пересечения прямой

x

=

y

=

z

и эллипсоида x2 + y2

+ z2

= 50.

3

Ответ: (3; 4; 5), (−3; −4; −5).

4

5

10.

Найти все целочисленные решения уравнения x2 − xy − x + y = 1.

Ответ: (0; 1), (2; 1).