besov
.pdfМосковский физико-технический институт
(государственный университет)
О.В. Бесов
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 2
Москва, 2005
Составитель О.В.Бесов
УДК 517.
Методические указания по математическому анализу. Ч. 2. Курс лекций по математическому анализу (для студентов 2-го курса). Ч. 2.
МФТИ. М., 2005. 213 с.
Учебное пособие соответствует программе 2-го курса МФТИ и содержит теорию кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, тригонометрических рядов Фурье, нормированных и гильбертовых пространств, преобразований Фурье и элементы теории обобщенных функций.
Оно написано на основе лекций, читаемых в течение многих лет в МФТИ автором (профессором МФТИ, чл.-корреспондентом РАН, зав. отделом теории функций Математического института им. В.А. Стеклова РАН).
Предназначено для студентов физико-математических и инже- нерно-физических специальностей вузов с повышенной подготовкой по математике.
c Московский физико-технический институт (государственный университет), 2005
c О.В.Бесов, 2005
3
Оглавление
Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклидовом |
|
пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§18.1. Определение меры по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
§18.2. Свойства измеримых по Жордану множеств . . . . . . . |
13 |
Глава 19. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
§19.1. Определение кратного интеграла и критерий |
|
интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
§19.2. Свойства кратного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
§19.3. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . |
28 |
§19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения . |
31 |
§19.5. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . |
36 |
Глава 20. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . |
43 |
§20.1. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . |
43 |
§20.2. Криволинейные интегралы второго рода . . . . . . . . . |
45 |
§20.3. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
§20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского |
|
отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
62 |
§20.5. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
Глава 21. Элементы теории поверхностей . . . . . . . |
74 |
§21.1. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
74 |
§21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая . . . . . . . |
77 |
§21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности . . . . |
79 |
§21.4. Ориентация гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . |
82 |
§21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности . . . . |
83 |
§21.6. Неявно заданные гладкие поверхности . . . . . . . . . . |
84 |
§21.7. Кусочно гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
Глава 22. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . |
. . 89 |
§22.1. Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . |
. . 89 |
§22.2. Поверхностные интегралы второго рода . . . . . . . . |
. . 92 |
Глава 23. Скалярные и векторные поля . . . . . . . |
. . 96 |
§23.1. Скалярные и векторные поля . . . . . . . . . . . . . . |
. . 96 |
§23.2. Формула Остроградского–Гаусса . . . . . . . . . . . . |
. . 99 |
§23.3. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . 103 |
§23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение) . . . |
. . 106 |
Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье . . . . |
. . 110 |
§24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации . . |
. . 110 |
§24.2. Сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . 116 |
§24.3. Приближение непрерывных функций многочленами . |
. . 124 |
§24.4. Почленное дифференцирование и интегрирование |
|
тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю |
|
коэффициентов и остатка ряда Фурье . . . . . . . . . |
. . 127 |
§24.5. Ряды Фурье 2l-периодических функций. Комплексная |
|
форма рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . 136 |
Глава 25. Метрические, нормированные |
|
и гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . . |
. . 139 |
§25.1. Метрические и нормированные пространства . . . . |
. . 139 |
§25.2. Пространства CL1, CL2, RL1, RL2, L1, L2 . . . . . . |
. . 146 |
§25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . . . |
. . 154 |
§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним . . . . |
. . 159 |
Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра . . |
. . 171 |
§26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра . . . . . |
. . 171 |
§26.2. Равномерная сходимость на множестве . . . . . . . . |
. . 174 |
§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра |
. . 177 |
Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье . 188 |
|
§27.1. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . 188 |
§27.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . 194 |
Глава 28. Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . |
. 198 |
§28.1. Пространства D, D0 основных и обобщенных функций |
. 198 |
§28.2. Дифференцирование обобщенных функций . . . . . . . |
. 203 |
§ |
205 |
28.3. Пространства S, S0 основных и обобщенных функций . |
|
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 209 |
Глава 18
МЕРА МНОЖЕСТВ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Как и в § 10.1, символом Rn (n N) будем обозначать n-мерное евклидово пространство, т. е. множество всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел x = = (x1, . . . , xn), называемых точками (с координатами x1, . . . , xn), в котором введено понятие расстояния:
dist(x, y) B v |
n |
(xi |
− |
yi)2 |
|
ui=1 |
|
|
|
||
uX |
|
|
|
|
|
t |
|
|
n |
. |
|
при x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) R |
|||||
Уже отмечалось, что в Rn можно ввести сложение, x + y B (x1 + y1, . . . , xn + yn) x, y Rn,
и умножение на действительное число λ,
λx B (λx1, . . . , λxn) x Rn, λ R.
Операции сложения и умножения на действительное число обладают теми же свойствами, что и операции сложения и умножения в R. В частности, нулевым элементом в Rn явля-
ется~ определена разность как операция обрат
0 = (0, . . . , 0), ( , -
ная сложению), имеющая вид
x − y = (x1 − y1, . . . , xn − yn) x, y Rn,
и т. д. Таким образом, Rn превращается в линейное (векторное) пространство. Элементы (точки) Rn будем называть также векторами.
В Rn можно ввести понятие скалярного произведения двух
векторов:
n
X
(x, y) = xiyi x, y Rn.
i=1
Оно согласовано с уже имеющимся понятием расстояния в Rn в том смысле, что
dist(x, y) = |x − y| x, y Rn,
|
§ 18.1. Определение меры по Жордану |
7 |
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
P |
|
|
|
||
где |x| B si=1 xi2 = |
(x, x) — длина вектора x. Два вектора x, |
|||||
y называют ортогональными друг другу (пишут x y), если (x, y) = 0. Вектор x Rn называют единичным вектором, если
|x| = 1.
Единичными, например, являются векторы
ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) Rn, (1 6 i 6 n)
(единица стоит на i-м месте).
Набор векторов e1, e2, . . . , en называют ортогональным
базисом единичных векторов. Он обладает двумя свойствами:
1.◦ ei ej при i 6= j,
n
2.◦ x = P xiei x Rn.
i=1
Последнее равенство называют разложением вектора x по ба-
зису {ei}n1 .
Ортогональный базис {ei}n1 определяет в Rn ортогональную
систему координат Точка ~ называется началом координат
. 0 ,
прямые
{x : x = tei, −∞ < t < +∞}, i = 1, . . . , n,
— координатными осями, числа x1, . . . , xn — координатами вектора x = (x1, . . . , xn).
§ 18.1. Определение меры по Жордану
Введем и изучим понятие меры в Rn, обобщающее понятие длины (n = 1), площади (n = 2), объема (n = 3). Будет изложена теория меры множеств, предложенная Жорданом.
Определение 1. |
Множество |
|
P = (a1, b1 |
] × (a2, b2] × . . . × (an, bn] Rn, |
(1) |
где ai, bi R, ai |
6 bi (i = 1, . . . , n), будем |
назы- |
вать полуоткрытым прямоугольником, или сокращенно — п-прямоугольником.
В случае n = 1 P представляет собой полуинтервал или пустое множество. В случае n = 2 P — прямоугольник без
8Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
левой и нижней сторон или пустое множество. В случае n = = 3 P — прямоугольный параллелепипед без трех граней или пустое множество.
Меру пустого множества положим равной нулю.
Для каждого из п-прямоугольников (1) определим его меру равенством
n |
|
µP B Y(bi − ai). |
(2) |
i=1
Таким образом, каждому п-прямоугольнику P вида (1) поставлено в соответствие число — его мера µP ; при этом выполнены следующие условия:
1.◦ µP > 0;
- |
) |
|
Pi |
|
P |
= |
|
|
m |
|
|
|
P = |
i S |
|||||
2.◦ мера µP |
аддитивна, т. е. |
если |
Pk (P , Pi — |
||||||
п прямоугольники |
и |
|
∩ |
k |
|
|
при |
k=1 |
|
|
|
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
= k, то |
||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
µP = |
Xi |
|
|
|
|||
|
|
|
µPk. |
|
|||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Определение 2. Множество A Rn назовем элементарным, если оно представимо в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся п-прямоугольников.
Лемма 1. Совокупность элементарных множеств замкнута относительно операций объединения, пересечения и разности, т. е. объединение, пересечение и разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух п-пря- моугольников есть п-прямоугольник. Поэтому пересечение двух элементарных множеств является элементарным множеством.
Разность двух п-прямоугольников является, как легко проверить, элементарным множеством. Отсюда следует, что разность двух элементарных множеств также является элементарным множеством.
§ 18.1. Определение меры по Жордану |
9 |
Если A, B — элементарные множества, то их объединение можно представить в виде
A B = (A \ B) (B \ A) (A ∩ B),
т. е. в виде объединения трех попарно непересекающихся элементарных множеств. Отсюда следует, что A B — элементарное множество.
Определим теперь меру µA для элементарного множества
m
[
A = Pk, Pi ∩ Pk = при i 6= k,
k=1
(где Pk — п-прямоугольники) равенством
m
X
µA B µPk.
k=1
Покажем, что это определение корректно, т. е. что µA не зависит от способа представления A в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся п-прямоугольников. Пусть
[[
A = Pk = Qj, Pi ∩ Pk = , Qj ∩ Qk = при i 6= k,
kj
где Pk и Qj — п-прямоугольники. Так как пересечение двух п-прямоугольников есть п-прямоугольник, то в силу аддитив-
ности меры для п-прямоугольников |
X |
|
||
|
Xk |
X |
|
|
|
µPk = |
µ(Pk ∩ Qj) = µQj. |
|
|
|
|
k,j |
j |
|
В частности, если п-прямоугольник P (1) представить в |
||||
|
m |
|
|
|
виде P = |
S |
|
|
|
Pk, то мера его как элементарного множества |
||||
|
k=1 |
|
|
|
совпадет с (2). |
|
|
|
|
Лемма 2. Пусть A, B — элементарные множества. Тогда |
||||
1.◦ (Монотонность меры) |
|
|
||
|
0 6 µA 6 µB, |
если A B. |
(3) |
|
2.◦ (Полуаддитивность меры) |
|
|
||
|
|
µ(A B) 6 µA + µB. |
(4) |
|
10 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
3.◦ (Аддитивность меры) |
|
|
|
µ(A B) = µA + µB, |
если |
A ∩ B = . |
(5) |
µ(A \ B) = µA − µB, |
при |
B A. |
(6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. (3) очевидно. Установим (5). Множество A B элементарно в силу леммы 1. Если
m |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
A = |
Pk, |
B = |
|
Qj, |
Pk, Qj — п-прямоугольники, |
||||
k=1 |
|
|
|
|
j=1 |
Qi ∩ Qk = при i 6= k, |
|||
Pi ∩ Pk = при i 6= k, |
|||||||||
то |
|
|
|
|
|
m |
! |
r |
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
[ |
|
|
|
|
A |
B = |
|
j=1 Qj , |
|||
причем Pk |
∩ |
Qj = |
|
|
k, j.k=1 Pk |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда по определению меры элементарного множества
mr
X |
X |
µ(A B) = |
µPk + µQj, |
k=1 |
j=1 |
m |
r |
XX
µA = |
µPk, µB = µQj, |
k=1 |
j=1 |
откуда следует (5). Из (5) и (3) следует (4):
µ(A B) = µ(A \ (A ∩ B)) + µB 6 µA + µB.
Из (5) следует (6).
Определение 3. Пусть E Rn — ограниченное множество. Числа
µ E = sup µA, |
µ E = inf µB, |
|
|
A E |
B E |
|
|
|
где верхняя и нижняя грани берутся по всем элементарным множествам A, B (A E, B E), называются соответ-
ственно нижней (или внутренней) и верхней (или внешней) мерой Жордана множества E.